6. cvičení z MB141, jaro 2023
Příklad. 1. Spočtěte inverzní matici k matici
Proveďte zkoušku.
Příklad. 2. Spočtěte inverzní matici k matici
/l 4	-2	3\
2 9	3	-2
-1 -6	-11	4
\ 0 -1	-6	
Zkoušku proveďte aspoň částečně. Řešení. Inverzní matice je
/154	-179	-205   235 \
-36	42	48 -55
6	-7	-8 9
\ 1	-1	-1      1 /
□
Příklad. 3. Spočtěte inverzní matici k matici
(l	a	0	0	0\
0	1	a	0	0
0	0	1	a	0
0	0	0	1	a
	0	0	0	V
Proveďte zkoušku.
Příklad. 4. Spočtěte determinant nějaké matice 2 x 2 a 3 x 3. Příklad. 5. Spočtěte determinant matice
/ 2 -1	0	3\
1 0	-2	0
-1 1	2	1
\-3 -2	1	v
a) pomocí řádkových úprav,
b) pomocí Laplaceova rozvoje vhodného řádku.
2
Řešení. 32 □
Příklad. 6. Zjistěte, pro které parametry a, b, c E IR je soustava rovnic
axi   +  bx2 = c
cxi +  ax3   = b
CX2   +   bx%   = a
jednoznačně řešitelná. Pro tyto parametry najděte řešení pomocí Cramerova pravidla.
Příklad. 7. Spočtěte determinant matice
fa  1   1   1 l\
1   a   1   1 1
1   1   a   1 1
1   1   1   a 1
\1   1   1   1 a)
pomocí řádkových úprav.
Řešení. Začneme tím, že k prvému řádku přičteme všechny ostatní. Pak pokračujeme standardními úpravami. Výsledek je (a + 4) (a — l)4. □
Příklad. 8. Ukažte si, že následující množiny jsou jsou s vhodnými operacemi vektorové prostory.
(a) množina všech polynomů s koeficienty v IR, označení M[x\,
(b) množina všech matic 3 x 3 s prvky v Z5, označení Mat3X3(Z5),
(c) množina všech posloupností reálných čísel, kterou lze chápat jako množinu všech zobrazení množiny přirozených čísel N do IR.
Příklad. 9. Zjistěte, zda následující podmnožiny jsou vektorové podprostory ve vyznačených vektorových prostorech:
(a) U = {fe R[x]\ f'(3) = 0, /(-l) = 0} C R[x],
(b) V = {Ae Mat2x2(M)| an + a22 = 1} C Mat2x2(M),
(c) W = {A E Matnxn(IR)| detA = 0} C Matnxn(IR),
(d) Z = {/ : N -> R\ f(n + 1) = f(n) + f(n - 1)} C {/ : N -> IR}.