7. cvičení z MB141, jaro 2023
Podstatné v tomto cvičení je spočítat příklady 2, 4, 5, 6 a 7. U příkladů 1 a 3 nedělejte všechny úkoly. Počítání průniků a součtů vektorových podprostorů je nepovinné (nebude v odpovědnících ani písemkách), proto příklady 8 a 9 dělejte jen při dostatku času.
Příklad. 1. Ukažte si, že následující množiny jsou s vhodnými operacemi vektorové prostory.
(a) množina n-tic reálných čísel IRn,
(b) množina všech polynomů s koeficienty v IR, označení M.[x],
(c) množina všech matíc 3 x 3 s prvky v Z5, označení Mat3x3(Z5),
(d*) množina všech posloupností reálných čísel, kterou lze chápat jako množinu všech zobrazení množiny přirozených čísel N do IR.
Příklad. 2. Najděte všechny vektorové podprostory v IR2, resp. v IR3. Dělejte to "geometricky".
Příklad. 3. Rozhodněte, zda následující množiny jsou vektorové podprostory.
(a) U = {fe R[x]\ f'(3) = 0, /(-l) = 0} C R[x],
(b) V = {Ae Mat2x2(M)| an + a22 = 1} C Mat2x2(M),
(c) W = {Ae Mat2x2(M)| an + a22 = 0} C Mat2x2(M),
(d*) Z = {/ : N     R\ f(n + 1) = f(n) + f(n — 1)} C {/ : N —)• IR}.
Příklad. 4. Zjistěte, zda vektor u = (1,-2,3,4) G IR4 leží v lineárním obalu vektorů
Vl = (1,0,1, -2), v2 = (3, -1,-1, -1), v3 = (0,1, -5,4).
Příklad. 5. Nechť M je podprostor IR5 generovaný vektory v\ = (1,2,1,0,1), v2 = (2, —1, 0,1,1), v3 = (1, —3, —1,1, 0), V4 = (1, 7, 3, —1, 2). Rozhodněte, zda jsou tyto vektory lineárně nezávislé. Pokud ne, vyberte z nich bázi podprostorů M a zbylé vektory vyjádřete v této bázi.
Příklad. 6. Spočtěte souřadnice polynomu 1 + 3x + 5x2 + 10:r3 v bázi
a = (1 + x + 2x2 - x3,1 + 2x + x3,1 + x + 3x2 - x3, 2 + 2x + Ax2 + 5x3) prostoru B^rc].
Řešení. (-10,2,7,1) □
Příklad. 7. Najděte bázi a dimenzi podprostorů U v IR5 všech řešení soustavy rovnic
2xi   —  3x2   +  Ax3   —  8x4  +    x5  = 0 X\   +   2x2   —   3rr3   +    x4   +   5x5   = 0
1
2
Příklad. 8*. Najděte báze a dimenze součtu a průniku podprostorů P a Q v IR4, jestliže
P = [(4, 0,-2,6), (2,1, -2,3), (3,1, -2,4)], Q= [(1,-1, 0,2), (2,2,-1,3), (0,1,1,0)].
Řešení. Průnik má dimenzi 2 a bázi např. (1, —1, 0, 2), (—2, —1, 2, —3). □
Příklad. 9*. Najděte báze a dimenze podprostorů
P = {f eR,[x]\f(l) = 0, f(2) = 0}   a   Q = {^GM4NU(rr) = ^(-a:)} a báze a dimenze jejich průniku a součtu.
/Čeření, dimP = 3, dimQ = 3, dimP n Q = 1, dimP + Q = 5, tedy P + Q = R4[x]. □