MB141 -5. cvičení Lineární zobrazení
Martin Čadek
Jarní semestr 2020
(A)
Příklad 1. Rozhodněte, zda následující zobrazení mezi ^-^ vektorovými prostory jsou lineární. Pokud ano, napište jejich předpis v souřadnicích standardních bazí uvedených prostorů pomocí násobení maticí.
(a) if : R2 -> R, <p(x<\, x2) = 2Xj + x^x2,
(ž) V a. eTČ V/tr&V  yUnr) ~aq>(*-)     ^      q>(a<r< t^Yafi*,
Příklad 1. Rozhodněte, zda následující zobrazení mezi vektorovými prostory jsou lineární. Pokud ano, napište jejich předpis v souřadnicích standardních bazí uvedených prostorů pomocí násobení maticí.
(b) <p : R2    R3, (p(xi,x2) = (2xi - 3x2,5x2^ - x2),
))    -     (lUt-^*  í%-3^)/ ^2^*
/
2. —
■7-
x2
Přikladl. Rozhodněte, zda následující zobrazení mezi vektorovými prostory jsou lineární. Pokud ano, napište jejich předpis v souřadnicích standardních bazí uvedených prostorů pomocí násobení maticí.
(b) <p : R2    R3, (pfa, x2) = (2x! - 3x2,5x2, *i - x2),
[4tOťO)l  Í0l1fd)l lO{Ot<()) ^3 ^ ^
9
Příklad 1. Rozhodněte, zda následující zobrazení mezi vektorovými prostory jsou lineární. Pokud ano, napište jejich předpis v souřadnicích standardních bazí uvedených prostorů pomocí násobení maticí.
(c) <p : R3[x] -+ R2, <p(p) = (p(1),p(2)2),
7^ /surkawu,   /ne^o A/m&w . ^^^^
ř
Příklad 1. Rozhodněte, zda následující zobrazení mezi ® vektorovými prostory jsou lineární. Pokud ano, napište jejich předpis v souřadnicích standardních bazí uvedených prostorů pomocí násobení maticí.
(d) <p : R3[x] -> IR2, tp(p) = (p(1),p(2)).
1 lapíM) J(arJ-f)(<),h<Ář)z) -
t >
o? (aritě icx>ids) = t4Ť>*^*r/   .    . p/r
Příklad 1. Rozhodněte, zda následující zobrazení mezi vektorovými prostory jsou lineární. Pokud ano, napište jejich předpis v souřadnicích standardních bazí uvedených prostorů pomocí násobení maticí.
(d) ^:R3[x]^R2, y>(p) = (p(1),p(2)).
Os
a
0Ľ
4   /I   4 4
Z 1
Příklad 2. Ve vektorovém prostoru M3 uvažujme bázi
ui =(1,0,1), U2 = (0,1,1), íy3 = (1,1,1). Nechť ^ : R3 -> M3 je lineární zobrazení, o němž víme, že
V>("1) = "1, <P(U2) = u3, ip(u3) = u2.
Najděte matici A tvaru 3x3 tak, aby v souřadnicích standardní báze bylo <p(x) = Ax.
4
ĽJ
o
ďh1
=. A * =
/ ait 4<z
(Zz<{ ílz^ d^i ^Si ^33
3
3
Příklad 2. Ve vektorovém prostoru R3 uvažujme bázi
[/! = (1,0,1), u2 = (0,1,1), u3 = (1,1,1). Nechť <p : R3 -» R3 je lineární zobrazení, o němž víme, že
Najděte matici >A tvaru 3x3 tak, aby v souřadnicích standardní báze bylo (p(x) = Ax.
^3
/V
»    í c
( ev
\
/
/
' I ****
/U
Příklad 2. Ve vektorovém prostoru R3 uvažujme bázi
^ = (1,0,1), u2 = (0,1,1), u3 = (1,1,1). Nechť tp : R3 ^R3
je lineární zobrazení, o němž víme, že
<p(Ui) = L/1, (p(u2) = u3, <^(u3) = tv2.
Najděte matici A tvaru 3x3 tak, aby v souřadnicích standardní báze bylo (p(x) = Ax.
í 1, 0, A	4,	0,1 \			4	4
\ 0,4,1			I		-f	
V 4, 4\ 4	1 0t				í)	-1
4 04 -1 4 0 ZO 4
y o o
0 4 0
0 04
-10 0
-14 0
ao4,
(f
*3
Příklad 3. Nechť <p je zobrazení R3 do sebe, které je symetrií /7\ podle roviny x, - x3 = 0. Najděte matici B takovou, že v ^ souřadnicích standardní báze je <p(x) = Bx.
f^/tlii/xe? /ot> /w.W   /pp^áovu /WicťsC   A&fajr^tLs .op^^u^
v_ =./")     .4<jz*m;'ÁAzct   sb,, — (i 0,4)    a jo, = (o,-f,o\
Příklad 3. Nechť <p je zobrazení R3 do sebe, které je symetrií podle roviny Xi -x3 = 0. Najděte matici B takovou, že v souřadnicích standardní báze je <p(x) = Bx.
I i u
5
3 i
)
(
4 O 4 \       I 4 o 4 I 4 O 1\     l 4    0 O
O 4 0 -10 4
0 i o
o o -z
0 4
-do o
0 4 0 0   O 4
& o f
0 4 0 ti O O
Přiklad 3. Nechť <p je zobrazení R3 do sebe, které je symetrií podle roviny x^~x3 = 0. Najděte matici B takovou, že v souřadnicích standardní báze je <p(x) = Bx.
1
O
1
i a, \	(0	0	1 \	( Xr\ /	
(?< ="	0	1	0		
^5 /		0	°1		
67
Příklad 4. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory zobrazení
<p : R2 ->■ R2
2   i\ f
'2 (
*1 *2
i I 'má [ A<-U^H-y
<1 O O i
7y
<2>
v,
O
O
é
/o
Příklad 4. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory zobrazení
<p : R2 -> R2
3 o)"U
<p(x) =
lézt/
/Hiy    yúfyyvtčs     (^-^    4 \ ht \ _ i®
3 ~ £
Příklad 4. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory zobrazení
<p : R2 -> R2
<p(x) =
2 1
3 0
*2
3 -3
O O
3 4
3 / 3 -f
O O i
-3
f
f
4
-3
Příklad 5. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory zobrazení
<p : R2 ->• M2
«*> = (5 "21) • (2
a^vaMp, čA^   ^oAj^ ýjéčK
Olzl í'^ - (-2-79 £2-*) + 5- = tf+Y
/lU/     ± sO   ) ČA^<^ yAJ^L
f
Příklad 6. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matice
/O    1 0 B=   0    0 1
V4 -17 8
žatiev /»u>h' ^W^W d>W
^ ,W *W       ±2, ± 4. - —
Příklad 6. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matice
/O    1 0 B=   0    0 1 \4 -17 8
4-
2-
Z
Příklad 6. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matice (g)
-2-IT3   4 (9
f-2-'fl    <t O
^ sft-estoátu   /V&t&tqs A,^^4u
[4c 2-^3, ^) .^z^
S<-       IX' w — -
Příklad 7. Zjistěte, zda v M3 existuje báze tvořená vlastními (A) vektory matice
0 0 -2' C= I 1  2 1
1 0 3
OUI I C-
Pokud ano, najděte ji.
__ l-sy o-2 \^(-^)i2^)(s^)i0-i'i
Příklad 7. Zjistěte, zda v R3 existuje báze tvořená vlastními vektory matice
0 0 -2' C= I 1  2 1
1 0 3
Pokud ano, najděte ji.
í-4 o -z
0 4-1
V O D 0
/-< o -z\
4 4 A \ 4 0 2
As
1-2 O -2
1   D 4
\ 4   O 4
~J^oOi^   /fa^ liž
3.
t-2. O
W   O   < J
v       ^ r    -      ' /
xnt^lí^M^ :        ( JtOt-t) * £> (0L ieO)
X^b^^n^aJ A£íi^í^^n^i /^-eÁ^t^t^ ^ti^Cčt^ čt m (-2/V), (4lOl-i)/ (0t1,0)t
Příklad 7. Zjistěte, zda v R3 existuje báze tvořená vlastními vektory matice
0 0 -2 C= | 1  2 1
1 0 3
Pokud ano, najděte ji.
Příklad 8. Spočtěte vlastní čísla a vlastní vektory matice
D =
( 1 1 2    1 \
1-2 1-4
0 -1 -1 -1
V-1 0-127
N        Iva       /i ^ i <J
4 i
0    -1 2-9i
Y 2. 0 -1
-1
-z-y
2->
		Z.	0
		0	0
' 0		-1-y	0
1- 7	0	-1	
			
4-*h      2. O -Y       -7 2-^
r ' ,
Příklad 8. Spočtěte vlastní čísla a vlastní vektory matice
D =
/1    1 2    1 \ 1-2 1-4
0 -1 -1 -1
V-1 0-12/
CD
(4-7) íi-y) Lz-o)* Z'OH)i o-on)- o-n-n)^)
- (-2-7)
t
*0 4   Z A
\ o o O 0
A O A -1 0 * A
0-^0-1» O  Q O O
t 0 4 A
o o & o
D O O Oj
Příklad 8. Spočtěte vlastní čísla a vlastní vektory matice
D =
( 1     1    2    1 \ 1-2 1-4 0   -1   -1 -1
V-1 0-12/
/nJU^i A,  ^--Z <r*^   f-(-1,0,1,0) t ý + O.
A  ^ =-2 ^   s (-i, -i, <      * * O. V/Kw****, ?*>Ĺ>    /réh*^ ' i* ^^^o
9