\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  8. cvičení z MB141, jaro 2023}
\end{center}
\bigskip

 Vyřešte aspoň příklady 1, 2, 3, 4, 6. Další úlohy dělejte v pořadí 8 (stačí výpočet vlastních čísel a jednoho vlastního vektoru), 
 7 a 5 (v něm jsou vlastní čísla komplexní. Reálné vlastní vektory neexistují, komplexní nepočítáme).
 
 \bigskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ } Rozhodněte, zda následující zobrazení mezi vektorovými prostory jsou li\-neár\-ní. Pokud ano, napište jejich předpis v souřadnicích standardních bazí uvedených prostorů pomocí násobení maticí.
\begin{enumerate}
\item[(a)] $\varphi:\R^2\to \R,\ \varphi(x_1,x_2)=\frac{x_1^3+x_2^3}{x_1^2+x_2^2}$,
\item[(b)] $\varphi:\R^3\to\R^2,\ \varphi (x_1,x_2,x_3)=(2x_1-x_2, 2x_2-x_3)$,
\item[(c)] $\varphi:\R_3[x]\to\R^2,\ \varphi(p)=(p(0),p'(0))$.
\end{enumerate}
\end{zad}


\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } 
Ve vektorovém prostoru $\R^3$ uvažujme bázi $u_1=(1,-1,1)$, $u_2=(1,1,0)$, $u_3=(2,1,1)$.
Nechť $\varphi:\R^3\to \R^3$ je lineární zobrazení, o němž víme, že
$$\varphi(u_1)=u_2,\ \varphi(u_2)=u_3,\ \varphi(u_3)=u_1.$$
Najděte matici $A$ tvaru $3\times 3$ tak, aby v souřadnicích standardní báze bylo
$\varphi(x)=Ax$.
\end{zad}


\bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ }
Nechť $\varphi$ je zobrazení $\R^3$ do sebe, které je symetrií podle roviny
$x_2+x_3=0$. Najděte matici $B$ takovou, že v souřadnicích standardní báze je $\varphi(x)=Bx$. 
\end{zad}



\bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ }
Najděte vlastní čísla a vlastní vektory zobrazení $\varphi:\R^2\to\R^2$
$$\varphi(x)=\begin{pmatrix}
2&1\\3&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}.$$
 \end{zad}
 
 \begin{res} Vlastní číslo $\lambda_1=-1$ a vlastním vektorem $(1,-3)^T$ a vlastní číslo  $\lambda_2=3$ s~vlastním vektorem
 $(1,1)^T$.
 \end{res}

\bigskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ }
Najděte vlastní čísla a vlastní vektory zobrazení $\varphi:\R^2\to\R^2$
$$\varphi(x)=\begin{pmatrix}
0&-1\\1&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}.$$
\end{zad}

\begin{res} Charakteristický polynom je $\lambda^2+1$. Ten nemá reálné kořeny, pouze komplexní $\pm \operatorname{i}$.
 \end{res}

\bigskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ }
Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matice
$$B=\begin{pmatrix}
2&1&0\\-1&0&3\\1&1&1\end{pmatrix}.$$
\end{zad}

\bigskip
%příklad 7
\begin{zad}{\bf 7.\ }
Zjistěte, zda v $\R^3$ existuje báze tvořená vlastními vektory matice
$$C=\begin{pmatrix}
0&-1&2\\3&4&-2\\3&1&1\end{pmatrix}.$$
Pokud ano, najděte ji.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 8
\begin{zad}{\bf 8.\ }
Spočtěte vlastní čísla a vlastní vektory matice
$$D=\begin{pmatrix}
1&1&2&1\\1&-2&1&-4\\0&-1&-1&-1\\ -1&0&-1&2\end{pmatrix}.$$
\end{zad}

\begin{res} Charakteristický polynom je $(\lambda-2)(\lambda+2)(\lambda-1)(\lambda+1)$.
\parindent=0pt

Vlastní číslo $1$ má vlastní vektor $(1,-1,0,1)^T$.  

Vlastní číslo $-1$ má vlastní vektor $(-1,0,1,0)^T$. 

Vlastní číslo $2$ má vlastní vektor $(0,-1,0,1)^T$. 

Vlastní číslo $-2$ má vlastní vektor $(-1,1,1,0)^T$. 
\end{res}


\end{document}

