8. cvičení z MB141, jaro 2023
Vyřešte aspoň příklady 1, 2, 3, 4, 6. Další úlohy dělejte v pořadí 8 (stačí výpočet vlastních čísel a jednoho vlastního vektoru), 7 a 5 (v něm jsou vlastní čísla komplexní. Reálné vlastní vektory neexistují, komplexní nepočítáme).
Příklad. 1. Rozhodněte, zda následující zobrazení mezi vektorovými prostory jsou lineární. Pokud ano, napište jejich předpis v souřadnicích standardních bazí uvedených prostorů pomocí násobení maticí.
(a) p:R2^R, p(Xl,x2) = ^,
(b) ip : IR3 -ř R2, tp(x1,x2,x3) = (2xi - x2,2x2 - x3),
(c) <p : R3[x] -> IR2, <p(j>) = (p(0),p'(0)).
Příklad. 2. Ve vektorovém prostoru IR3 uvažujme bázi ui = (1, — 1,1), u2 = (1,1,0), u3 = (2,1,1). Nechť ip : IR3 —> R3 je lineární zobrazení, o němž víme, že
tp{ui) = u2, ip(u2) = u3, (f(u3) = Ui.
Najděte matici A tvaru 3x3 tak, aby v souřadnicích standardní báze bylo <p(x) = Ax.
Příklad. 3. Nechť tp je zobrazení IR3 do sebe, které je symetrií podle roviny x2 + x3 = 0. Najděte matici B takovou, že v souřadnicích standardní báze je <p(x) = Bx.
Příklad. 4. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory zobrazení tp : IR2 —ř R2
Řešení. Vlastní číslo Ai = — 1 a vlastním vektorem (1, —3)T a vlastní číslo A2 = 3 s vlast-
ním vektorem (1,1)
□
Příklad. 5. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory zobrazení p> : IR2 —ř R2
Řešení. Charakteristický polynom je A2 + 1. Ten nemá reálné kořeny, pouze komplexní ± i.
□
Příklad. 6. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matice
1
2
Příklad. 7. Zjistěte, zda v IR3 existuje báze tvořená vlastními vektory matice
Pokud ano, najděte ji.
Příklad. 8. Spočtěte vlastní čísla a vlastní vektory matice
	(l	1	2     1 \	
D =	1	-2	1 -4	
	0	-1	-1 -1	
	W	0	-1    2 j	
Řešení. Charakteristický polynom je	(A-	2)(AH	-2)(A-1)(A + 1	
Vlastní číslo 1 má vlastní vektor (1, -	-1,0	1)T		
Vlastní číslo — 1 má vlastní vektor (-	-1,0,	i,of.		
Vlastní číslo 2 má vlastní vektor (0, -	-1,0	1)T		
Vlastní číslo —2 má vlastní vektor (-	-1,1,	l,0f.