MB141, 28.6.2023, zkouška
Příklad. 1A. [2 body] Lineární podprostor P prostoru IR4 je generován vektory
Ul = (1,-1,-1,2), u2 = (2,-2,-2,4), u3 = (3,2,3,4), ^ = (-2,7,8,-6). Vyberte z těchto vektorů bázi podprostoru P.
Řešení. Vektory přepíšeme jako sloupce do matice a upravíme ji na schodový tvar:
(l	2 3	-2\	(l	1	3	-2\
-1	-2 2	7	0	0	5	5
-1	-2 3	8	0	0	0	0
v2	4 4	"6/		0	0	
Pokud dochází ve sloupci k odskoku na nový schod, znamená to, že příslušný vektor je nezávislý na předchozích (přispívá k navýšení hodnosti matice či dimenzi podprostoru) a je tak vhodný pro zařazení do báze. Za bázi tedy lze zvolit například dvojici (ui, u3). □
Příklad. 1B. [2 body] Dokažte, že 17 není primitivní kořen modulo 19.
Řešení. Protože 0(19) = 18 a 17 není primitivní, mělo by nastat 176 = 1 (mod 19) nebo 179 = 1 (mod 19). Budeme tedy postupně počítat 172,173,176,179 s tím, že bude-li některý mezivýsledek už kongruentní 1, můžeme ihned skončit. Číslo 17 nahradíme —2 a dostáváme (-2)2 = 4, (-2)3 = -8, (-2)6 = 64 = 7, (-2)9 = —8-7 = 1, což jsme potřebovali dokázat. □
Příklad. 1C. [2 body] Určete poslední dvojčíslí čísla x = 1234567.
Řešení. Zřejmě je 1234567 dělitelné 4 a stačí tedy určit 123 4567 = 9567 =? (mod 25). Platí 0(25) = 20, zredukujeme tedy úlohu na výpočet 97 modulo 25. Dostáváme 97 = 9 • 813 = 9 • 63 = 9 • 6 • 11 = —6 (mod 25). Substitucí x = Ay do kongruence dojdeme k výsledku x = 44 (mod 100), poslední dvojčíslí je tedy 44. □
Příklad. 2A. [2 body] Určete vzájemnou polohu přímky p : x + 2y + z = 0, — x + y — 2z = 1 a roviny p : A + ru + sv, A = [1, —2, A], u = (1, — 1,1), v = (—2, 0,1) včetně případného průniku v IR3.
Řešení. Úlohu lze řešit dosazením parametrického vyjádření roviny p do parametrického vyjádření přímky p. Dostáváme soustavu (1 + r — 2s) + 2(—2 — r) + (4 + r + s) = 0, — (1 + r — 2s) + (—2 — r) — 2(4 + r + s) = 1, jejímž řešením je dvojice parametrů r = —3, s = 1. Z jednoznačnosti vyplývá, že průnik je jednoprvkový a podprostory jsou různoběžné. Dosazením r, s do parametrického vyjádření p dostaneme p n p = {[—4,1, 2]}.
□
Příklad. 2B. [5 bodů] a) Určete matici M lineárního zobrazení / : IR3 —> IR3 (ve standardní bázi), které je otáčením prostoru kolem přímky p se směrovým vektorem u = (1, 0,1) o úhel n = 180°.
b) Určete obraz vektoru w = (1, 2, 3) v zobrazení /.
Řešení, a) Nejprve najdeme dva vektory udávající rovinu kolmou na přímku p, např. m =
(0, l,0),n = (1, 0, —1). Pro zobrazení / platí f{u) =u,f(m) = —m, f{n) = —n. Úpravou
i
2
maticového schématu
1  0 1
0 1 0
1 0 -1
1 o o 0 1 o 0  0 1
M
dojdeme k řešení
'0    0 ť 0-10
1   o o,
b) /(w) určíme jako Mw = (3, -2,1). □ Příklad. 3A. [2 body] Najděte vektor w o velikosti 1 kolmý na vektory u = (1,5,1), v = (2,4,-1) v R3.
Řešení. Nejprve najdeme nějaký nenulový vektor z kolmý na u, v, tj. (z, u) = (z, v) = 0. Přepsání skalárních součinů do souřadnic vede k homogenní soustavě rovnic s maticí
'1  5 1 2 4-1
Řešením je například z = (3,—1, 2), jeho velikost je ||,z|| = a/32 + (—l)2 + 22 = y/TÄ.
Odtud již odvodíme w = ^ (3, -1, 2). □
Příklad. 3B. [5 bodů] Uvažujeme třístavový Markovův řetězec se stavy A,B,C a pravděpodobnostmi přechodů
P (A -+B) = 0, P(B -+ C) = 0, P(C -+A) = 0,
P (A -+A) = 1/3, P(B -*B) = 1/2, P(C -*C) = 2/3.
a) Dopočítejte zbylé přechody a sestavte přechodovou pravděpodobnostní matici M. Ověřte, že M je primitivní, tj. že nějaká mocnina Mk má všechny členy kladné.
b) Určete pravděpodobnost, s jakou se bude po dostatečně dlouhé době systém dostávat do stavu A.
Řešení, a) Matici sestavujeme tak, aby vstupní stavy odpovídaly sloupcům a výstupní stavy řádkům. Chybějící informace doplníme z faktu, že součet pravděpodobností výstupů z každého stavuje 1. Při dodržení abecedního pořadí stavů dostaneme matici
/1/3   1/2 0 M=     0    1/2 1/3 \2/3    0 2/3.
Primitivnost můžeme prověřit symbolickým umocňováním matice
pricemz zjis-
tíme, že již M2 je pozitivní. (V každém řádku i sloupci jsou dvě +, musí se tedy při násobení podle přihrádkového principu některá z nich potkat.)
b) Hledáme vlastní vektor pro vlastní číslo 1, tj. řešíme homogenní soustavu (M — E)x = 0. Netriviálním řešením j e například vektor x = (3,4, 6). Jeho vydělením číslem 3 + 4 + 6 = 13 dostaneme pravděpodobnostní vektor (3/13,4/13, 6/13). Stav A tedy bude navštěvován s pravděpodobno stí 3 /13. □