MB141, 30.5.2023, zkouška, skupina Y
Příklad. 1. [2 body] Doplňte vektory u = (1,1,4, —2), v = (0, 3, —2,1) dalšími dvěma vektory e^, ej tak, aby dohromady tvořily bázi celého prostoru IR4, kde e1; e2, e3, e4 značí standardní bázi. Jinými slovy vyberte z šestice vektorů u, v, ei, e2, e3, e4 nějakou maximální lineárně nezávislou podmnožinu (obsahující oba vektory it, v).
Řešení. Do společného maticového schématu s u, v zapíšeme všechny ei, e2, e3, e4, upravíme na schodový tvar a sledujeme, které sloupce navyšují hodnost matice (jsou nezávislé na předchozích):
	1	0	1	0	0	0\		( 1	0	1	0	0	0	
	1	3	0	1	0	0		0	1	2	0	0	1	
	4	-2	0	0	1	0	r^j • • • rsj	0	0	-7	1	0	-3	
v	-2	1	0	0	0				0	0	0	1	2	/
Nové schody se utváří ve třetím a pátém sloupci, což odpovídá ex a e3. Bází je tedy např. čtveřice (u, v, e1; e3). □
Příklad. 2. [2 body] Určete vzdálenost mimoběžek p : [1, —3, 3] + í(l, 0, 2) a g : [9, 2,3] + s(-3,0,1) vR3.
Řešení. Výpočet si lze významně ulehčit, pokud si všimneme, že zaměření každé z přímek p, q leží pouze v rovině x z a osa mimoběžek je tudíž rovnoběžná se souřadnou osou y. Díky tomu je zřejmé, že průsečíky, v nichž se osa mimoběžek realizuje, mají stejné souřadnice x a z a vzdálenost lze spočítat pouze z rozdílu v souřadnicích y. Ovšem tato souřadnice je pro přímku p i přímku q konstantní a můžeme si ji vypůjčit už z bodů [1, —3, 3], [9,2, 3] parametrického vyjádření. Dostáváme
d(p, q)
5.
□
[2,-1,2] + í(l, —2, —1) a roviny p
Příklad. 3. [2 body] Určete odchylku přímky p x + y + 2z = — 1 v prostoru IR3.
Řešení. Protože známe směrový vektor v = (1,-2,-1) a normálový vektor n můžeme snadno určit úhel, který svírají odpovídající přímky:
(1,1,2),
cos a
\(v,n)\
1
2'
iMľ IMI Vq-Vq
Odtud a = 7r/3 (= 60°) a hledanou odchylku podprostorů dopočítáme jako doplněk do pravého úhlu tt/2 - tt/3 = tt/6 (= 30°). □
Příklad. 4. [2 body] Najděte celá čísla x, y, aby platilo
27x + 19y = 1.
Řešení. Čísla 27,19 jsou nesoudělná, tedy podle Bezoutovy věty má rovnice řešení. Toto řešení lze nalézt postupným dělením se zbytkem podle Eukleidova algoritmu a zpětným
i
2
dosazováním:
27=19 + 8, 19(x + y) + 8x = 1,
19 = 2-8 + 3, 8(3x + 2y) + 3(x + y) = 1,
8 = 2-3 + 2, 3(7x + 5y) + 2(3x + 2y) = 1,
3 = 2 + 1, 2(10x + 7y) + (7x + 5y) = l.
Soustava
10a: + 7y = 0, 7x + 5y = 1
má řešení rr = —7, y = 10 a to je i odpověď na původní úlohu. □
Příklad. 5. [5 bodů] a) Prolomte šifru RSA s veřejným klíčem n = 247 = 13 • 19, e = 29, tj. najděte inverzi d k e modulo 4>(n).
b) V daném kryptosystému zašifrujte zprávu M = 17 jako C = Me (mod n). Při výpočtu doporučujeme počítat C nejdřív zvlášť modulo 13 a modulo 19 a využít Eulerovy věty pro zjednodušení (zredukování) exponentu, poté dát tyto výsledky dohromady pomocí Čínské zbytkové věty.
Řešení, a) Protože 247 = 13-19, snadno určíme 4>(n) = 12-18 = 216. Kongruence 29cř = 1 (mod 216) má řešení d = 149.
b) Dostáváme 1729 = 45 = 4 • 32 = -3 (mod 13) a 1729 = (-2)11 = -2 • 45 = —8 • (—3)2 = 4 (mod 19). Z druhé kongruence 1729 = 19í + 4, dosazením do první a vyřešením dostaneme t = 1 (mod 13), takže C = 1729 = 23 (mod 247). □
Příklad. 6. [2 body] Najděte nějakou matici L Leslieho procesu, v němž rozlišujeme 3 věkové kategorie, populace je stabilní, kategorie zaujímají poměr 3 : 2 : 1 v pořadí od nej mladší po nej starší, nej mladší kategorie nemá žádné potomstvo a nej starší kategorie na konci cyklu celá umírá.
Řešení. Ze zadání ihned vyplývá, že matice L bude mít na 2. a 3. řádku jediné dvě nenulové hodnoty a ty odpovádají naději přežití z 1. do 2. a z 2. do 3. kategorie. Z poměrů plyne, že v jednotlivých případech je naděje 2/3, resp. 1/2. Vektor v = (3, 2,1) má být řešením homogenní soustavy (L—E)v = 0. Průzkum 2. a 3. řádku soustavy potvrzuje již provedenou úvahu, zbývá určit 1. řádek matice. Podle zadání je buňka v levém horním rohu nulová, buňky ve 2. a 3. sloupci označme bac. Musí platit — 3 + 2b + c = 0, čehož dosáhneme například volbou b = 1, c = 1. Dostáváme matici
o   i ŕ
L = ( 2/3    0 0 0    1/2 0,
□
Příklad. 7. [5 bodů] a) Najděte vlastní čísla a vlastní vektory lineárního zobrazení / : IR3 —> M.3,f(v) = Av daného maticí
A
3
b) Na základě těchto výsledků určete, o jaké zobrazení se jedná (symetrie podle podpro-storu ..., projekce na podprostor ..., atp.).
Řešení, a) Vlastní čísla jsou kořeny charakteristického polynomu:
1 - A    0 0
\A-\E\
0 0
-A -1
(l-A)(A2-l) = -(A + l)(A-iy
tj. jednoduchý Ai = —la dvojnásobný A2 = 1. Řešením odpovídajících homogenních soustav (A — \E)v = 0 dojdeme např. k vlastnímu vektoru u = (0,1,1) pro Ai = — 1 a vektorům v = (1, 0, 0), w = (0,1, —1) pro A2 = 1. (Stačí nám najít vektory tvořící bázi příslušného podprostoru.)
b) Vlastní čísla znamenají, že zobrazení / obrací vektor u, zatímco v,w zůstávají na místě. Jedná se tedy o symetrii (zrcadlení) podle roviny. Tu popíšeme buďto pomocí směrových vektorů v,w, nebo pomocí normálového vektoru u:
p:í(l,0,0) + s(0,l,-l), p:y + z = 0.
□