MB141 -1. přednáška Geometrie v rovině
Martin Čadek
s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101
Jarní semestr 2022
□ - =
1. přednáška       Geometrie v rovině
K čemu je dobrá lineární algebra a teorie čísel
Motivace. V předmětu MB141 se postupně naučíme
• řešit soustavy lineárních rovnic,
• pracovat s maticemi,
• řešit geometrické úlohy v rovině a v prostoru (uplatnění v počítačové grafice),
• popisovat pomocí matic některé procesy (růst populací, Markovovy procesy),
• jak se teorie čísel používá v kryptografii s veřejným klíčem.
1. přednáška       Geometrie v rovině
2/24
Osnova 1. přednášky
• Afinní geometrie
• Eukleidovská geometrie
o Orientace, viditelnost, obsah a determinant
1. přednáška       Geometrie v rovině 3/24
Body a vektory
Motivace: chceme umět
• počítat s body a přímkami,
• měřit vzdálenosti a úhly, počítat obsahy rovinných útvarů,
• pracovat s přirozenými transformaci roviny jako je otočení kolem bodu a reflexe podle přímky.
Základními objekty budou pro nás
• body,
• vektory.
Vektory jsou zadány uspořádanou dvojicí bodů AĚ, bod >A je
počáteční, bod B je koncový. Uspořádané dvojice AĚaČŮ určují stejný vektor ~Ú, jestliže vhodným posunutím převedeme
orientovanou úsečku AŠ na orientovanou úsečku
1. přednáška       Geometrie v rovině 4/24
Počítání s vektory a body
Vektory ~Ú, V můžeme
• sčítat: dostaneme pomocí rovnoběžníkového pravidla,
• násobit reálným číslem a g IR, a~Ú,
nulový vektor o je reprezentován AA, opačný vektor kTt = ÄŠ\e -~í = BÁ.
Kombinací násobení a sčítání dostaneme lineární kombinaci vektorů aŮ + b~Č.
K libovolnému bodu A můžeme přičíst vektor ~Ú. Výsledkem této operace A + ~Ú je bod B, který je koncovým bodem
reprezentace vektoru ~Ú pomocí orientované úsečky ÄŠ. ►► Počítání s body a vektory provádíme pomocí souřadnic.
1. přednáška
Geometrie v rovině
5/24
Souřadný systém
Souřadný systém je určen
• počátkem v bodě P,
• dvěma nenulovými vektory ě\, e2 umístěnými do bodu P, které neleží v jedné přímce.
Pro každý bod B v rovině souřadný systém zadává
• reálná čísla x a y taková, že B = P + xě\ + ye2. ►►
Dvojici reálných čísel [x,y] (v hranatých závorkách) nazýváme souřadnicemi bodu B v souřadném systému (P, ě\, e2).
Jestliže je vektor a souřadnice bodů A a B jsou
postupně [x1?yi] a [x2,y2], Pak souřadnicemi vektoru je dvojice reálných čísel (x2 - x1, y2 - yi) (v kulatých závorkách). Uvědomte si, že nezáleží na tom, kterými dvěma body vektor ~Ů reprezentujeme. ►►
Body (a rovněž vektory) v rovině reprezentujeme tedy jako uspořádané dvojice reálných čísel, tj. prvky rpno^ny M2. -= t
1. přednáška       Geometrie v rovině 6/24
Přímky
Každý bodpřímky p procházející bodem A se směrovým vektorem u ^ ~Š napíšeme jako
X = A+t~Ú
pro nějaké reálné číslo t. To je parametrická rovnice přímky p. V souřadnicích
[x,y] = [ax,ay] + t(ux,Uy), což lze rozepsat po složkách
x = ax + tux, y = ay + tuy.
Je-li ux ^ 0, spočteme z první rovnice parametr t a dosadíme do druhé rovnice. Po vynásobení ux, dostaneme tzv. obecnou (nebo implicitní) rovnici přímky ►►
-uyx + uxy + (ayux - axuy) = 0,
px + qy + r = 0.^, ==
1. přednáška       Geometrie v rovině 7/24
Afinní a konvexní kombinace bodů
Přímka určená body A aB, A ^ B, má směrový vektor Její parametrický popis je proto
A+t~Ů = A+t(B-A)=A + tB-tA = (Jl-t)A + tB.
Tato kombinace je tvaru aA + /3B, kde a + (3 = 1. Nazýváme ji afinní kombinací bodů A a B. Bod X = (1 - t)A + tB leží
• na úsečce AB, právě když ř e [0,1], ►►
• na polopřímce opačné k polopřímce ÄŠ, právě když t < 0,
• na polopřímce opačné k polopřímce BÁ, právě když t > 1.
Kombinaci bodů (1 - t)A + tB pro t e [0,1] nazýváme konvexní kombinací bodů A a B. Důvodem je definice konvexní množiny: Podmnožina roviny je konvexní, jestliže s každými dvěma body A a B v ní leží všechny body úsečky AB, tedy všechny jejich konvexní kombinace.
1. přednáška
Geometrie v rovině
8/24
Afinní kombinace tří bodů v rovině
Nechť A, B a C jsou body v rovině, které neleží v jedné přímce. Pak lze každý bod X roviny psát ve tvaru
X = A+tBA+sCA = A+t(B-A)+s(C-A) = (1 -t-s)A+tB+sC.
Tato kombinace aA + /3B + 7C, kde a + (3 + 7 = 1, se nazývá afinní kombinace bodů A, B a C.
Lze ukázat, že tato afinní kombinace leží v trojúhelníku ABC, právě když a, /3, 7 e [0,1]. Takovouto afinní kombinaci nazýváme konvexní kombinací tří bodů.
Příklad
Dokažte, že se těžnice v trojúhelníku ABC protínají v jediném bodě.
Střed strany a = BC je afinní kombinace \B+\C. Těžnice na stranu a procházící bodem A a středem strany a má tedy afinní
vyjádření
1. přednáška
Geometrie v rovině
9/24
Těžnice v trojúhelníku
ta: (1 -t)a+t[ Ib+^-CJ =(1 -t)a+^b+^c. Analogicky těžnice na stranu b = ac je
tb:   (1 -s)b + s[ \a+^-C\ =(1 -S)ß+|>A+|c.
Průnik těchto přímek je určen parametry ř a s splňujícími rovnici
(1 -t)a + y+^c = o -s)e+|>A+|c.
Koeficienty u jednotlivých bodů musí být stejné, neboť afinní kombinace pro daný bod je dána jednoznačně. Dostáváme tedy soustavu:
1 - f = -,   - = 1 - s.   - = -.
2     2 2 a 2 9 -
1. přednáška       Geometrie v rovině
5     ^) (V
10/24
Těžnice v trojúhelníku - dokončení
Její řešení je ř = s = 2/3. Průnikem těžnic ta a fa je bod
r = -/i+-e + -c.
3      3 3
Nyní stačí ověřit, že tento bod leží i na třetí těžnici fa zadané afinní kombinací
(1 -r)C+r-A+r-B. Bod T nazýváme těžištěm trojúhelníku ABC.
Příklad
Určete průnik (průsečík) přímek p : x + 2y = 200 a Q : 2x - 9y = 10.
Obě přímky zadané obecnou rovnicí: řešíme soustavu.►► Jedna přímka obecně, jedna parametricky : dosadíme. Obě přímky zadané parametricky : sestaví se soustava a vyřeší. Viz. průnik těžnic.
1. přednáška
Geometrie v rovině
11/24
Průsečík přímek — obecná diskuse
• Musí průsečík existovat?
Ekvivalentně:
ax + by = r ex + dy = s.
a b c d
x
y
r s
Eliminací x dostaneme rovnici (ad - bc)y = as - er, tj. záleží, zda ad - be = 0.
Definice
nazýváme hodnotu ad - be determinant
□ S1
1. přednáška       Geometrie v rovině
12/24
Skalární součin vektorů (Eukleidovská geometrie)
Definice
Pro dvojici vektorů u = (a, b) a v = (c, oř) definujeme
L/, v) = ac + ĎGř,
tzv. skalární součin vektoru.
Definice
Velikost vektoru u = (a, £>) je     = ^{u, u) = Va2 + £>2.
Pomocí skalárního součinu můžeme počítat odchylky vektorů. Jestliže jsou vektory u = (a,b)av = (c, oř) na sebe kolmé, pak podle Pythagorovy věty je \\u+ v\\2 = ||l/||2 + \\v\\2. Výpočtem podle definice dostáném ac + bd = 0, tedy (u, v) = 0. ►►
1. přednáška
Geometrie v rovině
13/24
Odchylky vektorů a přímek
• Vektory u a v jsou kolmé, právě když (u, v) = 0. Píšeme u _L v.
• Příklad: směrový vektor přímky ax + by + c = 0 je (-£>, a), normálový (a, r>). ►►
• Pro dvojici vektorů u a v se jejich odchylka spočítá pomocí vztahu
cos a —
U
v
a g [0,7r] .
• Rozlišujeme odchylku vektorů a přímek. Pro přímky:
cos a =
u
v
a g [0,tt/2].
• "Zdůvodnění": Odchylka vektorů i/ = (rcosa, rsin a) a v = (c, 0) je evidentně a, což odpovídá vzorci se skalárním součinem, neboť
(u,v) = r cos a • C + rsin a • 0 = ||l/||||v
cos a.
□ s
1. přednáška       Geometrie v rovině
14/24
Orientace
Mějme uspořádanou dvojici nenulových vektorů (~Ů,~Č), kde jeden není násobkem druhého. Řekneme, že tato dvojice je
a orientovaná kladně, jestliže jejich odchylka a měřená od prvního vektoru k druhému proti směru hodinových ručiček je kladná, tj. v intervalu (0, tt), ►►
• orientovaná záporně, jestliže jejich odchylka a měřená od prvního vektoru k druhému proti směru hodinových ručiček je záporná, tj. leží v intervalu (-71-, 0).
Lze ukázat, že orientaci lze počítat pomocí determinantu takto: Jsou-li ~Ú = (a, b) a V = (c, oř), pak dvojice (Ů, V) je
• orientována kladně, právě když a c b d
orientována záporně, právě když
f  0 ) = ad - bc < 0. ►►
b d J
d et
= ad - bo 0
d et
1. přednáška
Geometrie v rovině
15/24
Orientace a viditelnost
Pro přímku p a bod X nám orientace(znaménko determinant) poskytuje nástroj, jak rozhodnout, v které polorovině určené přímkou p se bod X nalézá. ►►
Nechť p je orientovaná směrovým vektorem ÄŠ. Vektory
a AX dáme do sloupců matice. Pokud je determinant
kladný, je bod X „nalevo od vektoru" ÄŠ. Pokud je determinant záporný je bod „napravo".
Pozn.: Nezáleží zda do řádků nebo sloupců. Důležité je pořadí vektorů.
Příklad
Jsou dány následující body: A = [10, -4], B = [18,6],
C= [25,18], P= [14,14] a R = [15,3].
Rozhodněte, které strany a vrcholy AABC jsou vidět z bodu P.
Rozhodněte, zda je bod R uvnitř AABC.
<£2><^>4  =  ><= ^Q^O
1. přednáška
Geometrie v rovině
16/24
Viditelnost - příklad
Příklad
A= [10,-4], B= [18,6], C = [25,18], R= [15,3].
det
= 8-22-10-15>0.
Z obrázku (nebo zadání) určíme v jakém pořadí jsou vrcholy označeny. (Pozn. když to není zřejmé z obrázku musíme použít determinant.)
Zde A~Ř = B-A= (8,10), ÄÔ = C - A = (15,22), 8 15 10 22
Bod C je nalevo od polopřímky AB. Pořadí vrcholů - kladný směr.
Určíme ďŽ= B-A = (8,10), ÄŔ = R-A= (5,7), detí^ * J = 8-7-10-5>0. Bod R je nalevo od polopřímky AB.
1. přednáška
Geometrie v rovině
17/24
Viditelnost - příklad - dokončení
Příklad
a= [10,-4], B= [18,6], C = [25,18], r = [15,3].
Dále b6= c- b= (7,12), b~ř = r- b= (-3,-3)
deř(l2  -3 ) =7-(-3)-12-(-3)>°-Bod r je nalevo od polopřímky bc.
det
= 15 • 15 - 22 • 10 > 0.
Konečně CA = A - C = (-15, -22)
C~ň= r-C= (-10,-15), -15 -10 -22 -15 Bod r je nalevo od polopřímky CA.
• Závěr: bod r je vnitř AABC.
9 Viditelnost z bodu P - stejný postup.
1. přednáška
Geometrie v rovině
18/24
Orientovaný obsah rovnoběžníku
Uvažujme rovnoběžník s vrcholy P, P + ~Ú, P + V a P + ~Ú + V. Obsah tohoto rovnoběžníku závisí pouze na vektorech nikoliv na bodu P. Zavedeme pojem
orientovaného obsahu rovnoběžníku zadaného uspořádanou dvojicí vektorů (Ů, V), označení S(Ů, V). Naše představa je, že S(7t,V)je
• 0, jestliže rovnoběžník zdegeneruje na úsečku,
• obsah rovnoběžníku, je-li dvojice (Ů, V) orientována kladně,
• obsah rovnoběžníku vynásobený číslem -1, je-li dvojice (Ů\ V) orientována záporně.
Pak S(7t, V) splňuje tato pravidla:
1) S((1,0),(0,1)) = 1, ►►
2) S(7t,V) = -S(V,7t), ►►
3) S(aŮ, V) = aS(7t, V) a S(7t,aV) = aS(7t, V), ►►
1. přednáška       Geometrie v rovině 19/24
Determinant jako orientovaný obsah
Orientovaný obsah rovnoběžníku určeného uspořádanou dvojicí vektorů ~Ú = (a, b) a V = (c, d) je
S(7t,V) = det(^
a c d
= ad - be.
Označme ě\ =(1,0)ae2 = (0,1). Pak ~Ů = aě\ + be2 a V = cě\ + de2. Při využívání pravidel 1) až 4) dostáváme
=S(aě\ + be2, cě\ + de2)
=aS(ě\, cě\ + de2) + bS(e2, cě\ + de2)
=acS(ě\, éí) + adS(ě\, é£) + bcS(e2, ě\) + bdS(e2, e2)
=adS(ě\, á£) - ĎcS(ě^ ,e2) = ad - bc
1. přednáška
Geometrie v rovině
20/24
Obsah rovnoběžníku zadaného vektory u a v je
S= det
a c b d
Příklad
Mějme body A = [1,1], B = [7,2], C = [5,5]. Určete obsah A ABC.
Obsah AABC\e tedy X\S(ÄŠ,ÄÔ)\ = Í|det
6 1 4 4
= 10.
1. přednáška       Geometrie v rovině
21/24
Shrnutí, požadavky
• Příklady s přímkami — průsečíky, úlohy s časem
• Velikosti úseček a úhlů.
• Obsahy n-úhelníků.
• Úlohy na viditelnost.
(Včetně polohy bodu vně/uvnitř.)
1. přednáška
Geometrie v rovině
s    *0 O'
22/24
Domácí úloha
Příklad (1.1)
V rovině IR2 uvažujeme pravidelný dvanáctiúhelník a^a2 .. ./A12 který je vepsán do kružnice s poloměrem 2, se středem S = [0,0] v počátku a vrcholem >A1 = [2,0]. Přitom vrcholy dvanáctiúhelníku a^a2 .. ./A12 jsou číslovány v kladném směru, tj. vrchol a2 má obě souřadnice kladné.
) Určete souřadnice vrcholu a2.
) Určete obsah dvanáctiúhelníku a^a2.. ./412.
Ni) Určete obsah trojúhelníku a2a5aq.
iv) Určete velikost úhlu, který svírají úhlopříčky a2a$ a a2aq.
v) Určete průsečík přímek a2a9 a a^a7.
1. přednáška
Geometrie v rovině
23/24
Domácí úloha
Příklad (1.2)
V rovině jsou dány body 4 = [1,2], B= [3,9], C = [2,13], D = [0,10], E = [5,-1] a F= [3,1]. Určete, zdaje resp. ABEF, konvexní čtyřúhelník. Určete, zda bod X = [2,7] resp. / = [4,15] leží uvnitř nebo vně tohoto čtyřúhelníku a rozhodněte, které strany konvexního čtyřúhelníku jsou vidět z bodu, který je vně.
Příklad (1.3)
Máme kulečníkový stůl o rozměrech 200 x 100, tj. „levý dolní roh" má souřadnice [0,0] a „pravý horní roh" má souřadnice [200,100]. Ze středu [100,50] vyšlu kouli do bodu [160,100]. Do kterého bodu (po dvou odrazech) dopadne koule na „spodní hraně"?
i
1. přednáška
Geometrie v rovině
24/24