MB141 -4. přednáška Vektorové prostory, báze, dimenze
Martin Čadek
s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101
Jarní semestr 2022
4. přednáška       Vektorové prostory
1/24
Osnova přednášky
• Vektorové prostory
• Výběr vhodné generující množiny 9 Báze a dimenze podprostorů
• Průnik a součet podprostorů
4. přednáška       Vektorové prostory
2/24
Motivace
Vektory - sčítání, násobky.
Uvažujme systém m lineárních rovnic pro n proměnných a předpokládejme, že jde o soustavu tvaru A • x = 0, tj.
(aAA   ...   a^n\   /xA /0\
\^a7?1
amnJ   \xnJ \0J
Součet dvou řešení x = (xi,..., xn) a y = (yi,..., yn) splňuje
A-(x + y) = A-x + A-y = 0
a je tedy také řešením, o Stejně tak zůstává řešením i skalární násobek a • x. © Máme tedy podmnožinu Kn sestávající ze všech řešení
soustavy M = {x e Kn | A • x = 0} se sčítáním a násobky
4. přednáška       Vektorové prostory
3/24
Vektorové prostory
Nechť K je množina reálných čísel R nebo racionálních čísel Q
nebo komplexních čísel C.	
Definice_J	
Vektorový prostor V nad polem skalárů K je neprázdná	
množina s operacemi sčítání vektorů + : V x V ->■ V a	
násobení vektoru skalárem • : K x V    V, pro které platí	
(u + v) + w = u + (v + w)	(1)
u + v = v + u	(2)
30e V :   u + 0 = u	(3)
a-(v+w) = a-v + a-w	(4)
Vtv g V 3(—u) g V :   u + (-i/) = 0	(5)
(a + Ď)-i/ = a- i/ + Ďv	(6)
a • (b ■ v) = (a ■ b) ■ v	(7)
1 • v = v	(8)
4. přednáška       Vektorové prostory 4/24
Vektorové prostory - příklady
Rozumné (známé) příklady:
• Vektory v rovině: IR2.
• Prostory vyšší dimenze: Rn.
• Matice nad polem: Marn?A7?(]R).
• Polynomy omezeného stupně:
M4M = {a4*4 + a3x3 + a2x2 + aAx + a0 | a4, a3, a2, aA, a0 e IR}
Obecně IR^M-
• Množina řešení homogenní soustavy lineárních rovnic.
• C vektorový prostor nad IR.
Všechno to jsou reálné vektorové prostory, tj. K = IR.
Lze uvažovat i příklady Qn, Cn, Q„[x], kde K = Q či K = C.
4. přednáška       Vektorové prostory
5/24
Vektorové prostory - príklady II
Poněkud složitější príklady: o Polynomy: R[x].
• Funkce: F(R) = {f : R IR}. o R vektorový prostor nad Q.
Poslední dva jsou trochu divoké.
Příklady množin, které netvoří vektorový prostor.
• Z x Z nad R.
• M = {x g Kn I A • x = £>}, pro b nenulové.
• Čtvercové matice s determinantem 1. « Polynomy stupně n.
4. přednáška       Vektorové prostory
6/24
Vektorové prostory - další vlastnosti
Věta
Nechť V je vektorový prostor nad polem skalárů K, dále uvažme skaláry a, b, a,- e K a vektory u, v, uj e V. Potom
• a • u = 0 právě když a = 0 nebo u = 0,
• (-1) • u = -u,
9 a • {u - v) = a • u - a • v,
• (a - b) • u = a - u - b • u,
Definice
Lineární kombinace vektorů   , l/2,____i//c je vektor
aii/i + a2i/2 H-----h a/fi//f e V,
kde a-i, a2,..., a^ e K jsou skaláry.
4. přednáška       Vektorové prostory
7/24
Podprostory
Kdy je podmnožina U vektorového prostoru V opět vektorovým prostorem? Pokud chceme používat stejné operace, je to právě když lineární kombinace vektorů z U leží rovněž v U.
Definice
Podmnožina 0 ^ U c V se nazývá vektorovým podprostorem jestliže, spolu se zúženými operacemi sčítání a násobení skaláry, splňuje
Va, í)gK, Vv, w e U, a - v + b • w e U.
Příklady: a Rn[x] c R[x].
acc.
• M = {x e Kn | 4 • x = 0} c Kn.
• Sudé polynomy {f e K4[x] \ f(x) = f(-x)} c M4[x]}.
4. přednáška       Vektorové prostory
8/24
Lineární obal množiny vektorů
Definice
Říkáme, že vektory ^, v2,..., vn generují vektorový prostor, jestliže každý vektor u e V je nějakou jejich lineární kombinací, tj. existují a1,a2,...,anGK, že
u = a-i ^ + a2v2 H-----h anv77
Lineární kombinace vektorů ^, v2,..., vn nemusí dávat všechny vektory ve V. Nicméně tvoří vždy nějaký jeho podprostor. Říkáme mu lineární obal těchto vektorů.
Definice
Lineární obal vektoru v-\,v2,...,vn je množina
[ví ,v2l... ,vn] = {ai ■ ui + ■ ■ ■ + ak ■ uk \ a/ e K}
4. přednáška       Vektorové prostory
9/24
Výběr optimálních základních vektorů
o Cíl: najít co nejmenší základní množinu vektorů, abychom mohli pomocí nich ostatní vektory (jednoznačně) vyjádřit.
Definice
• Množina vektorů M = {, v2,..., vk} c V ve vektorovém prostoru V nad K se nazývá lineárně nezávislá, jestliže pro každou /c-tici skalárů a^,..., ak e K platí:
a-i • ví H-----h a/c •    = 0    =4>    ai = a2 = • • • = ak = 0.
• M je lineárně závislá, jestliže není lineárně nezávislá.
• M je závislá, právě když aspoň jeden z jejích vektorů je vyjádřitelný jako lineární kombinace ostatních.
4. přednáška       Vektorové prostory
10/24
Lineární nezávislost - příklad I
Základní množina vektorů, aby byla co nejmenší, musí být lineárně nezávislá. Jak to poznáme?
Příklad
Rozhodněte, zda jsou vektory v-i =(1,1,1), v2 = (-1,0,1) a v3 = (1,2,3) lineárně nezávislé (v reálném prostoru IR3).
Soustava x1 ^ + x2v2 + x3v3 = 0 s maticí
-1 1
0 2
1 3
má řešení x-i = -2ř, x2 = -ř, x3 = ř. Napr. pro ŕ = 1 dostaneme -2 • ^ - v2 + v3 = 0, tzn. v3 = 2 •    + v2. Zkouška: 2v^ +v2 = (2,2,2) + (-1,0,1) = (1,2,3) = v3. Odpověď: zadané vektory jsou lineárně závislé.
4. přednáška       Vektorové prostory
11/24
Lineární nezávislost - příklad II
Příklad
Rozhodněte, zda jsou vektory x3 - x + 1, 2x3 + x2 - 2x. x4 + x3 - x a x4 - x2 + 1 lineárně nezávislé.
xl x: xl x x
o
1 o
-1
V 1
0
2
1
2 0
1 1
0
1 0
1 o -1
0
1
o o o
o /
Odpověď: jsou lineárně závislé.
Postup (obecně): vektory dáme do (sloupců) matice a řešíme příslušnou homogenní soustavu rovnic.
4. přednáška       Vektorové prostory
12/24
Báze vektorového prostoru
• Vektorový prostor, který je generován konečnou množinou vektorů se nazývá konečněrozměrný.
• Nechť V je konečněrozměrný vektorový prostor. Vektory v-i, v2,..., vn e \/ tvoří bázi vektorového prostoru V, jestliže generují V a jsou lineárně nezávislé.
• Počet prvků všech bází je stejný a proto jej můžeme nazývat dimenzí prostoru V. Značíme dim V.
Triviální podprostor {0} je generován prázdnou množinou, která je "prázdnou" bází. Má tedy nulovou dimenzi. Je-li (v-i, i/2,..., vn) báze, pak libovolný vektor ve V lze jediným způsobem zapsat jako lineární kombinaci vektorů báze
v = a^v^ + a2v2 H-----hanvn.
Koeficienty (a-i, a2,..., an) nazýváme souřadnice vektoru v v dané bázi.
4. přednáška       Vektorové prostory 13/24
Báze - příklady
• IR2: báze ((1,0), (0,1)); dimenze 2.
• Rn: báze (e-i, e2,..., en), kde e, = (0,..., 0,1,0..., 0); dimenze n.
• Matn^m(R): dimenze nm.
Mař2,3(K) = {(§    ) | a,c,cf,e,ř g R} =
{a-(188) + M8J8) + M88J) + M?88) +
+ e-(oio)+ř'(ooi) |a,fc,c,cř,e,f gR}.
DdZU Ju U000/'V000/'V000/'V1 O O ) ' V O 1 O / ' V O O 1 / / ■
• IR4[x]: báze (x4,x3,x2,x, 1); dimenze 5.
(M4[x] = {a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0|a4,...,a0GlR})
• [(1,1,1), (-1,0,1), (1,2,3)] = [(1,1,1), (-1,0,1)] je podprostor prostoru IR3 dimenze 2. (Příklad z 9. slajdu.)
9 M[x]: není konečněrozměrný.
4. přednáška       Vektorové prostory
14/24
Báze - základní poznatky
Pro konečněrozměrný vektorový prostor V platí:
9 Z libovolné konečné množiny generátorů vektorového prostoru V lze vybrat bázi.
9 Všechny báze V mají stejný počet vektorů.
Příklad
Nechť M = {(1,0,2,0,1), (0,2,1, -1,1), (2, -4,2,2,0), (2,1,3,1,1), (0,1,0,0,0)} c IR5. Z množiny M vyberte bázi lineárního obalu M (tj. podprostoru V = [M\ c R5).
4. přednáška       Vektorové prostory
15/24
Příklad - výběr báze z generující množiny
• v, =(1,0,2,0,1), i/2 = (0,2,1,-1,1), v3 = (2, -4,2,2,0), i/4 = (2,1,3,1,1),y5 = (0,1,0,0,0).
• Postup - odstraňování přebytečných vektorů.
/1	0	2	2 0\		/1		0	2	2	
0	2	-4	1 1		0		2	-4	1	1
2	1	2	3 0		0		1	-2	-1	0
0	-1	2	1 0		0		-1	2	1	0
V 1	1	0	1 o)		^ o		1	-2	-1	o J
		/1 0			>	2	o\			
			0 1			1	0			
			0 0	0		3	1			
			0 0	0		0	0			
			^00	0		0				
• v3 lze vyjádřit pomocí ^ a v2; ^5 pomocí v-i, v2, v4.
• Báze (ví, v2, v4).
4. přednáška       Vektorové prostory
16/24
Báze - další teoretické poznatky
Je-li V konečněrozměrný, je vhodné si pamatovat:
• Z každé množiny generátorů, lze vybrat bázi.
• Báze konečněrozměrných vektorových prostorů jsou právě minimální množiny generátorů.
• Každou lineárně nezávislou množinu lze doplnit do báze.
• Báze konečněrozměrných vektorových prostorů jsou právě maximální lineárně nezávislé množiny.
Důsledek:
Pro libovolný konečněrozměrný vektorový prostor V a jeho podprostor U platí:
dim U < dim V.
• Pro přirozená čísla m > n je libovolná množina m vektorů v prostoru dimenze n (např. Rn) lineárně závislá.
4. přednáška       Vektorové prostory
17/24
Báze - příklad s polynomy
Příklad
Je dán vektorový prostor V = IR4[x]. Určete bázi a dimenzi podprostorů P, Q, Pn Q, kde
P = {f e R4M | (Vc g R)(ř(c) = ř(-c)) },
Q = [x3 - x + 1, 2x3 + x2 - 2x,
x4 + x3 - x, x4 - x2 + 1 ].
►►
• P má bázi (x4, x2,1) a dimenzi 3.
• Už jsme spočítali bázi a dimenzi Q (slajd 10): dimenze je 3 a báze (x3 - x + 1, 2x3 + x2 - 2x, x4 + x3 - x).
• Hledáme skaláry a, b, c, p, g, r tak, aby ax4 + £>x2 + c = pv^ + qv2 + rv3.
• To vede na řešení následující soustavy.
4. přednáška
Vektorové prostory
18/24
Báze - příklad s polynomy - pokračování
/1	0	0	0	0	1 \		(1		0	0	0	0	1 \
0	0	0	1	2	1			0	1	0	0	1	0
0	1	0	0	1	0			0	0	1	1	0	0
0	0	0	-1	-2	-1			0	0	0	1	2	1
	0	1	1	0	o )			^ o	0	0	0	0	o /
• Řešení: g, r volné proměnné, p = —r — 2q.
• V průniku jsou tedy vektory tvaru
(-r - 2q) • (x3 - x + 1) + q • (2x3 + x2 - 2x) + r • (x4 + x3 - x)
= q • (x2 - 2) + r • (x4 - 1).
• Proto P n Q má bázi (x2 - 2, x4 - 1) a dimenzi 2.
4. přednáška       Vektorové prostory 19/24
Průnik a součet podprostoru
Nechť U a l/l/, jsou podprostory ve V, a, b e K, u, v e U n l/l/. Pak a-i/ + Ď- vel/nl/. Průnik podprostoru je opět podprostor.
Sjednocení podprostoru není obecně podprostor. Místo sjednocení proto definujeme součet podprostoru.
Definice
Součtem podprostoru U + 1/1/je množina
U+w = {u+weV\ueU,weW}.
Je to opět vektorový podprostor, nejmenší, který obsahuje podprostory U a l/l/.
4. přednáška       Vektorové prostory
20/24
Příklad s polynomy - součet podprostorů
Určete bázi a dimenzi podprostorů P+ Q.
• Sjednotíme báze a dostaneme množinu generátorů.
• Z ní vybereme bázi P + Q.
• To už máme mimoděk spočítáno: báze P + Q je například (x4, x2,1, x3 - x + 1) a dimenze je 4.
• Platí (zkouška): dim P + dim Q = dim(P + Q) + dim(Pn Q).
• Závěr: báze i dimenze P+QaPnQse počítá současně.
Věta
Pro U, W podprostory v konečněrozměrném V platí
• dim U < dim V,
9 U = V právě když dim U = dim V,
* dimíV + dim W = ď\m(U + M/) + dim(l/n l/l/).
4. přednáška       Vektorové prostory
21/24
Požadavky
Typické příklady:
• Určit bázi a dimenzi podprostoru (užitečné dovednosti vyber báze ze zadané množiny generátorů, doplnění množiny vektorů na bázi).
o Průnik a součet podprostoru - opět báze a dimenze.
4. přednáška       Vektorové prostory
22/24
Domácí úloha
Příklad (4.1)
Pro každou ze zadaných podmnožin M, vektorového prostoru V = R2[x] = {a2x2 + a\x + a0 | a2, ai, a0 gM} rozhodněte, zda je vektorovým podprostorem V7.
i) Mi ={feR2[x] | f(1) = f(2)};
ii) M2 = {f gR2[x] I f(1) = 0A (Vcel)(f(c) = f(-c))};
uď M3 = {f GR2[x] I f(1) = 0Af(0) = 1}.
Pokud Mj není vektorový podprostor, toto tvrzení zdůvodněte. Pokud M, je vektorový podprostor, určete dimenzi a nějakou bázi tohoto podprostoru.
Příklad (4.2)
Ve vektorovém prostoru M4 (nad tělesem R) jsou dány vektory ui =(1,1,1,1), u2 = (2,-1,1,6), u3 = (0,3,1,-4) a u4 = (3,1,2,6). Z množiny {1/1, l/2,1/3,1/4} vyberte maximální podmnožinu lineárně nezávislých vektorů a doplňte ji na bázi prostoru IR4.
4. přednáška       Vektorové prostory
23/24
Doplňující domácí úloha
Příklad (4.3)
Ve vektorovém prostoru Mafe,3(M) máme následující podmnožiny. Určete, které z nich jsou vektorové podprostory, a určete jejich dimenzi a bázi.
i) Podmnožina všech matic s jedničkami na diagonále.
ii) Podmnožina všech matic s nulami na diagonále.
iii) Podmnožina všech matic s nulovým determinantem.
iv) Podmnožina všech matic X pro které platí (1,0,0) • X = (1,0,0).
/1   2 3^
v) Podmnožina všech matic X pro které je součin   4   5   6 ) • X = 0.
\7   8 9
4. přednáška       Vektorové prostory
24/24