MB141 -6. přednáška Skalární součin Martin Čadek s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101 Jarní semestr 2022 6. přednáška Skalární součin Osnova přednášky • Skalární součin • Ortonormální báze • Ortogonální doplněk a kolmá projekce • Ortogonální transformace a matice 6. přednáška Skalární součin 2/22 Skalární součin v M2 a v M3 Skalární součin přiřazuje dvěma vektorům reálné číslo. Na střední škole jste si ho definovali na IR2 předpisem (~>t,~ý} =x1y1 +x2y2 a na IR3 podobným předpisem =x1y1 +x2y2 + x3y3. Takto definované zobrazení má tyto vlastnosti 1) (ý,?) = (ý,it), 2) (ý+ = + 3) (ájt,-?) = a(jt,-?), 4) (Ý, ^} > 0 pro všechny vektory "3^ ^ 0. Ukazuje se jako výhodné definovat skalární součin na libovolném reálném vektorovém prostoru jenom pomocí těchto vlastností. 6. přednáška Skalární součin 3/22 Skalární součin - definice a příklady (Šipky nad vektory už nebudeme psát.) Definice Skalární součin na vektorovém prostoru V nad reálnými čísly je zobrazení (, } : V x V -> R takové, že 1) (u,v) = (v,u), 2) (u + v,w) = (u, w) + (v, i/i/}, 3) (a -u,v) = a -(u,v), 4) {v,v) >0 a\e roven 0 pouze při v = 0. Příklady: • My budeme obvykle pracovat s tzv. standardním skalárním součinem na V = Rn ((^,x2j...,xn), (yi,y2, • • •,yn)) = *i yi + x2y2 + • • • + xnyn. 6. přednáška Skalární součin 4/22 Skalární součin - příklady • Na Rn existuje mnoho dalších skalárních součinů. Např. na IR2 zadává předpis (x,y) = xAyA - xAy2 - x2y + 2x2y2 také skalární součin. Poslední vlastnost z definice je splněna, neboť (x,x) = x2 + 2^x2 + 2x| = (x1 - x2)2 + x| > 0 pro (xl5x2) ^ (0,0). 9 Na prostoru všech polynomů V = IR[x] můžeme skalární součin zadat pomocí určitého integrálu (u,v)= ľ u(t).v(t)dt. Jo 6. přednáška Skalární součin 5/22 Velikost a kolmost vektorů Velikost vektoru v se definuje jako v = \ v, v . Vektory u, v e V se nazývají ortogonální (kolmé), jestliže u, v) = 0 Píšeme u _L v. Věta (Cauchyova nerovnost) Pro každé dva vektory u a v e V platí nerovnost u,v < u v Rovnost nastane, práve když jeden vektor je násobkem druhého. 6. přednáška Skalární součin 6/22 Odchylky vektorů Jestliže jsou vektory u a v nenulové, platí podle Cauchyovy nerovnosti -1 < u • v < 1. Proto existuje právě jedno číslo a e [0, tt] takové, že cos a = u • v Toto číslo nazýváme odchylkou vektoru u a v. 6. přednáška Skalární součin 7/22 Ortogonální a ortonormální báze Báze prostoru V složená z navzájem kolmých vektorů se nazývá ortogonální báze. Mají-li bázové vektory navíc jednotkovou velikost, mluvíme o ortonormální bázi. Název pochází z toho, že vektory jednotkové velikosti se nazývají normované. Standardní úlohou je najít najít v podprostoru generovaném několika vektory nejdříve ortogonální a potom ortonormální bázi. Nalezněte ortogonální a ortonormální bázi podprostoru M = [(1,1,1,1), (1,0,0,3), (1,2,1,0)] vektorového prostoru IR4 Označne tyto vektory postupně ^, v2 a v3. Chceme je postupně nahradit navzájem kolmými vektory u^,u2,u3. • Začněme tím, že položíme = ^ =(1,1,1,1). 6. přednáška Skalární součin 8/22 Pokračování příkladu • Vektor u2 hledáme ve tvaru u2 = v2 - au^. Rovnost vynásobíme skalárně vektorem 0 = (i/2ji/i) = (vi2Ji/1>-a(i/1ji/1>. Odtud spočítáme a = ^± = \ = 1. Tedy u2 = v2-\.ui = (1,0,0,3) - (1,1,1,1) = (0,-1,-1,2). • Vektor u3 hledáme ve tvaru 1/3 = 1/3- bu2 - cu^. Rovnost vynásobíme skalárně vektorem^ 0 = (1/3,1/1) = (1/3,1/1) - b(u2,ui) - c(l/i,l/i). Protože (l/2, =0, spočítáme c = = 1. Obdobně rovnost vynásobíme skalárně vektorem u2 0 = (l/3, ^2} = (vfc, ^2} - 6(i/2j u2) - c{uA, u2). Protože , l/2) = 0, spočítáme ď = = -\, tedy u3 = (0,1/2,-1/2,0). 6. přednáška Skalární součin 9/22 Grammův-Schmidtův ortogonalizační proces Velikosti vektorů jsou || = 2, u2 = \/6, l/3 = Ortonormální báze podprostoru M je tedy 1(1,1,1,1), -1(0,-1,-1,2), -1(0,-1,-1,0) Výše uvedený postup lze aplikovat na libovolnou /c-tici lineárně nezávislých vektorů v^v2l..., vk, abychom dostali /c-tici navzájem ortogonálních vektorů. Nazývá se Grammův-Schmidtův ortogonalizační proces. 6. přednáška Skalární součin 10/22 Ortogonální doplněk a kolmá projekce Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem a U jeho podprostor. Množina všech kolmých vektorů k vektorům z U U± = {v e V\ (v, u) = 0 pro všechna u e U} se nazývá ortogonální doplněk podprostoru U ve V. Jde opět o vektorový podprostor. Platí, že U + U± = l/aL/nli1 = {0}. To je ekvivalentní s tím, že pro každý vektor v e V existuje právě jeden vektor u e U a právě jeden vektor i^gíí1 tak, že v = u + w. Vektor u nazýváme kolmou projekcí vektoru v do U. Kolmá projekce do popdprostoru U je lineární zobrazení Pu : V V, které zobrazuje vektory u e U na sebe a vektory w e U± na nulový vektor. V terminologii z předchozí přednášky má kolmá projekce vlastní číslo 1 s vlastním podprostorem U a vlastní číslo 0 s vlastním podprostorem U±. Výpočet kolmé projekci ukážeme na příkladu. 6. přednáška Skalární součin 11/22 Výpočet kolmé projekce Příklad V prostom IR5 se standardním skalárním součinem najděte kolmou projekci vektoru v = (0,2,6,0,5) do podprostoru U = [ui = (1,0,1,0,2),U2 = (-1,2,3,2,1)] a jeho ortogonálního doplňku U±. Kolmou projekci vektoru v do U hledáme ve tvaru Puv = au\ + bu2. Protože v = Pyv + Pu± v, musí být v - Puv e U±. Tedy v - Pjv je kolmé na vektory , u2 e U. Dostáváme tedy rovnice {v-Puv,uA) =(v-aui -fci/2jL/i) = 0, (v - P(jv, u2) ={v - au^ - bu2, u2) = 0. Po úpravě 6. přednáška Skalární součin 12/22 Pokračování příkladu afa, ui) + b{u2, ui) = a(wi, u2) + b(u2, u2) = (v,u2). Vypočteme příslušné skalární součiny 6a + 4Ď= 16, 4a+ 19Ď = 27. Řešení je a = 2 a b = 1. Kolmá projekce je tedy Puv = 2u1 +u2 = (1,2,5,2,5). Dimenze ortogonálního doplňku je 3. Kolmou projekci do UL nejrychleji spočítáme jako rozdíl PyxV=V-PyV= (-1,0,1,-2,0). 6. přednáška Skalární součin 13/22 Ortogonální transformace Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem. Lineární zobrazení

V nazýváme ortogonální transformací, jestliže pro všechny dvojice vektorů u, v e V platí (p(u),p(v)) = (u, v). Říkáme, že cp zachovává skalární součin, p zachovává rovněž velikosti vektorů, neboť 11^)11 = \/( v) = IMI- Nechť V = Rn se standardním skalárním součinem. Skalární součin dvou vektorů x a y e Kn, které bereme jako sloupce velikosti n můžeme zapsat pomocí maticového násobení takto: x, y) = +x2y2+-■ -+xnyn = (xux2,..., xn) = xT-y. Nechť ip : Rn ->• Rn, (p(x) = Ax, kde A je matice n x n, je ortogonální transformace. Potom podle definice platí 6. přednáška Skalární součin 14/22 Ortogonální matice (E je jednotková matice) xTEy = xTy = (x,y) = (Ax.Ay) = (>4x)7/4y = xT(-AT-A)-y pro všechna x,y e IRn. Proto je /AM = E, tedy inverzní matice k matici A je transponovaná matice. Takovým maticím říkáme ortogonální matice. Jejich definice je ekvivalentní s podmínkami • AAT = E. • Řádky matice A tvoří ortonormální bázi v Rn. • Sloupce matice A tvoří ortonormální bázi v Rn. Podstatné vlastnosti ortogonálních matic zachycuje následující Determinant ortogonální matice je roven ±1. Vlastní čísla ortogonální matice mají absolutní hodnotu 1. To platí i komplexní vlastní čísla. Jsou-li vlastní čísla reálná, tak jsou ±1. 6. přednáška Skalární součin 15/22 Lineární shodné transformace v rovině Jsou to ortogonální transformace cp(x) = Ax, kde A je ortogonální matice 2x2. Mohou nastat tyto možnosti: 1) detA = 1. Potom je cp otočení proti směru hodinových ručiček kolem počátku o úhel a. Ten je určen jednoznačně prvním sloupcem matice, která má tvar ^_ /cos a — sincA ysin a cos a J 2) detA = -1. Potom je