%\documentclass[xcolor=dvipsnames]{beamer} \documentclass[handout]{beamer} \usepackage[czech]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{times} \usepackage[T1]{fontenc} \usecolortheme{sidebartab} \usetheme{Warsaw} %xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx \title[Eukleidovská geometrie\hspace{15mm} \insertframenumber/\inserttotalframenumber] {MB141 -- 8. přednáška \\Eukleidovská geometrie} %\subtitle{} \author[8. přednáška]{Martin Čadek\\ s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101} \date{Jarní semestr 2022} \begin{document} \begin{frame} \titlepage \end{frame} %xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx \newtheorem{veta}{Věta} %\newtheorem{hyp}{Hypot\'eza} \newtheorem{reseni}{Řešení} %\newtheorem{problemx}{Problem} %\newtheorem{definition}{Definition} %\newtheorem{lemma}{Lemma} \theoremstyle{example} \newtheorem{definice}{Definice} \newtheorem{priklad}{P\v r\'iklad} \def\cervena #1{{\color{red} #1}} \def\cervene #1{{\color{red} #1}} \def\modra #1{{\color{blue} #1}} \def\modre #1{{\color{blue} #1}} \xdefinecolor{tmavezelena}{cmyk}{0.7,0,1,0.5} \def\zelena #1{{\color{tmavezelena} #1}} \def\zelene #1{{\color{tmavezelena} #1}} \def\c #1{\mathcal {#1}} \def\s #1{\mathsf {#1}} %\def\poznamka #1{{\footnotesize Pozn.: #1}\\} \def\poznamka #1{{\scriptsize Pozn.: #1}\\} \def\otazka #1{{\scriptsize Kontrolní otázka: #1}\\} \def\zavorka #1{{\scriptsize [ #1 ]}\\} \def\sami {{\scriptsize Vyřešte samostatně.}} \def\ec {{\vec{e_1}}} \def\ecc {{\vec{e_2}}} \def\efc {{\vec{f_1}}} \def\efcc {{\vec{f_2}}} \def\rovina {{\mathbb R^2}} \def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}} \def\skalar #1#2{{\langle #1, #2\rangle}} \def\velikost #1{{\| #1\|}} \def\sgn #1{{\operatorname{sgn}(#1)}} \def\norm #1{\|#1\|} \def\R{\mathbb R} \def\Q{\mathbb Q} \def\K{\mathbb K} \def\C{\mathbb C} \def\la{\langle} \def\ra{\rangle} \def\d{\operatorname{dist}} \def\A{\mathcal A} \def\E{\mathcal E} \def\M{\mathcal M} \def\N{\mathcal N} \def\P{\mathcal P} \def\Q{\mathcal Q} \def\n #1{\|#1\|} %xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx %\input definice-slovak.tex \def\tuzka{\hfill ${\color{orange}\blacktriangleright \blacktriangleright}$} %xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx \newcommand{\maticemn}[1]{ \left( \begin{array}{llll} #1_{11}_{12}&\dots_{1n}\\ #1_{21}_{22}&\dots_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ #1_{m1}_{m2}&\dots_{mn}\\ \end{array} \right)} \newcommand{\maticedvadva}[4]{ \left( \begin{array}{rr} #1\\ #3\\ \end{array} \right)} %\newcommand{\maticedvatri}[6]{ %\left( %\begin{array}{rrr} %#1\\ %#4\\ %\end{array} %\right)} \newcommand{\maticedvatri}[6]{ \left( \begin{smallmatrix} #1\\ #4 \end{smallmatrix} \right)} \newcommand{\sloupecdva}[2]{ \left( \begin{array}{l} #1\\ #2\\ \end{array} \right)} %xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx \begin{frame}{Osnova přednášky} \begin{itemize} {\item Eukleidovské prostory \bigskip \item Velikost vektorů a vzdálenost podprostorů \bigskip \item Odchylky podprostorů \bigskip \item Orientovaný objem rovnoběžnostěnu \bigskip \item Orientace a vektorový součin v $\R^3$ %\bigskip %\item Afinní kombinace bodů %\bigskip %\item Konvexní množiny } \end{itemize} \end{frame} %\end{document} %xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx \modre{$ $} \begin{frame}{Eukleidovské prostory} V afinní geometrii zkoumáme vzájemnou polohu geometrických útvarů, zatímco \cervene{eukleidovská geometrie} počítá jejich vzdálenosti, odchylky a objemy. \pause \medskip Standardní \cervene{bodový euklidovský prostor} \modre{$\mathcal E_n$} je afinní prostor \modre{$\mathcal A_n$}, jehož zaměřením je vektorový prostor \modre{$\mathbb R^n$} se standardním skalárním součinem $\qquad\qquad\modre{\langle x, y \rangle = x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n.}$ \pause \cervene{Kartézská souřadná soustava} je afinní souřadná soustava \modre{$(A_0; \alpha)$} s ortonormální bazí \modre{$\alpha$}. \pause \cervene{Vzdálenost bodů} \modre{$A,B\in \mathcal E_n$} definujeme jako velikost vektoru \modre{$\vect{AB}$} \modre{$\qquad\qquad \|\vect{AB}\|=\sqrt{\la \vect{AB},\ \vect{AB}\ra}.$} \pause \cervene{Euklidovské podprostory} v \modre{$\mathcal E_n$} jsou afinní podprostory, jejichž zaměření uvažujeme spolu se standardním skalárním součinem. \end{frame} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{frame}{Vzdálenost bodů} Vzdálenost bodů \modre{$A$} a \modre{$B$} budeme označovat \modre{$\d(A,B)$}. Pro každé tři body \modre{$A,B,C\in \mathcal E_n$} platí \begin{itemize} \item \modre{$\d(A,B) = \d(B,A)$}, symetrie, \item \modre{$\d(A,B) = 0$} právě, když \modre{$A=B$}, \item \modre{$\d(A,B) + \d(B,C)\ge \d(A,C)$}, trojúhelníková nerovnost. \end{itemize} \pause V kartézké souřadné soustavě \modre{$(A_0;\varepsilon)$} mají body $$\modre{A= A_0+ a_1e_1+\dots+a_ne_n,\quad B= A_0+ b_1e_1+\dots+b_ne_n} $$ vzdálenost $\modre{\sqrt{\sum_{i=1}^n(a_i-b_i)^2}}$. \pause \begin{definice} Vzdálenost dvou afinních podprostorů $\modra{\mathcal P}$ a $\modre{\mathcal Q}$ definujeme takto $\qquad\qquad\modre{\d(\mathcal P,\mathcal Q)=\min \{\d(A,B) \mid A\in\mathcal P, B\in \mathcal Q \} } .$ \end{definice} \end{frame} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{frame}{Vzdálenost bodu od afinního podprostoru} Ukážeme si, jak počítat vzdálenost bodu \modre{$A$} od roviny \modre{$\Q$} v \modre{$\E_3$}. V~rovině \modre{$\Q$} uvažujme nějaký bod \modre{$B$}. Potom \modre{$\Q=B+Z(\Q)$}. Nechť \modre{$L$} je pata kolmice vedené z bodu \modre{$A$} na rovinu \modre{$\Q$}. (Malujte si obrázek.) Vzdálenost bodu \modre{$A$} od roviny \modre{$\Q$} je rovna vzdálenosti bodů \modre{$A$} a \modre{$L$}. \modre{$\qquad\qquad\qquad\d(A,\Q)=\d(A,L)$}. Přitom vektor \modre{$\vect{BA}=\vect{BL}+\vect{LA}$}, kde \modre{$\vect{BL}$} je kolmá projekce vektoru \modre{$\vect{BA}$} do zaměření \modre{$Z(\Q)$} a \modre{$\vect{LA}$} je kolmá projekce do ortogonálního doplňku \modre{$Z(\Q)^\perp$}. Označíme-li \modre{$P_{Z(\Q)}$} kolmou projekci do \modre{$Z(\Q)$} a \modre{$P_{Z(\Q)^\perp}$} kolmou projekci do \modre{$Z(\Q)^\perp$}, dostáváme \modre{$\qquad\d(A,\Q)=\n{P_{z(\Q)^\perp}(\vect{BA})}\quad{\text a }\quad L=B+P_{Z(\Q)}(\vect{BA})$}. \begin{priklad} Určete vzdálenost bodu $\modre{A=[2,1,2]}$ a roviny $\qquad\qquad\modre{\Q: [1,1,1]+t(1,1,0)+s(0,1,1)}$. \end{priklad} \end{frame} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{frame}{Vzdálenost bodu od roviny -- řešení příkladu} \zelene{Vzdálenost $\modre{A=[2,1,2]}$ od $\modre{\Q: [1,1,1] + t(1,1,0) + s(0,1,1)}$.} \medskip \begin{itemize} \item Označme \modre{$B=[1,1,1]$}. Prvně spočítáme ortogonální doplněk k~zaměření roviny. Ten je generován vektorem \modre{$n=(1,-1,1)$}. Dále spočítáme kolmou projekci vektoru \modre{$u=\vect{BA}=(1,0,1)$} do \modre{$Z(\Q)^\perp$}. Tu hledáme ve tvaru \modre{$P_{Z(\Q)^\perp}(u)=a\cdot n$}. Platí \modre{$\la u-a\cdot n,\ n\ra=0$}. Odtud \modre{$a=\frac23$}. Proto \modre{$\qquad\qquad\d(A,\Q)=\n{\left(\frac23,-\frac23,\frac23\right)}=\frac23\cdot \sqrt3$}. \item Nyní najdeme bod \modre{$L\in\Q$}, ve kterém se vzdálenost realizuje, tj. \modre{$\d(A,L)=\d(A,\Q)$}. \modre{\begin{align*} L&=B+P_{Z(\Q)}(u)=B+(u-P_{Z(\Q)^\perp} (u))\\ &=[1,1,1]+\left((1,0,1)-\left(\frac23,-\frac23,\frac23\right)\right)=\left[\frac43,\frac53,\frac43.\right] \end{align*}} \end{itemize} \end{frame} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{frame}{Vzdálenost bodu od roviny -- alternativní řešení} Předchozí příklad jde také řešit tak, že prvně spočítáme kolmou projekci vektoru \modre{$\vect{BA}=u$} do zaměření \modre{$Z(\Q)$}. To je trochu složitější než počítat kolmou projekci do \modre{$Z(\Q)^\perp$}, neboť \modre{$\dim Z(Q)=2>1=\dim Z(\Q)^\perp$}. Pak najdeme bod \modre{$L$}, kde se vzdálenost realizuje: \modre{$$L=B+P_{Z(\Q)}(u)=[1,1,1]+\left(\frac13,\frac23,\frac13\right)=\left[\frac43,\frac53,\frac43\right].$$} a odtud \modre{$$\d(A,\Q)=\d(A,L)=\n{[2,1,2]-\left[\frac43,\frac53,\frac43\right]}=\frac23\cdot\sqrt 3.$$} \end{frame} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{frame}{Vzdálenost bodu od afinního podprostoru obecně} Výpočet vzdálenosti bodu od libovolného afinního podprostoru v \modre{$\E_n$} provádíme analogicky. Stačí k tomu umět počítat ortogonální doplněk a kolmou projekci, což jsme se naučili v 6. přednášce. \begin{veta} Nechť \modre{$A$} je bod a \modre{$\Q$} afinní podprostor v \modre{$\E_n$}. Zvolme v \modre{$\Q$} nějaký bod \modre{$B$}. Pak \modre{$$\d(A,\Q)=\n{P_{Z(\Q)^\perp}(\vect{BA})},$$} kde \modre{$P_{Z(\Q)^\perp}$} je kolmou projekcí do ortogonálního doplňku zaměření \modre{$Z(\Q)^\perp$}. Bod, v němž se vzdálenost realizuje je \modre{$$Q=B+P_{Z(\Q)}(\vect {BA)},$$} kde \modre{$P_{Z(\Q)}$} je kolmou projekcí do zaměření \modre{$Z(\Q)$}. \end{veta} \end{frame} %xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx \begin{frame}{Vzdálenost dvou přímek v $\E_3$} Mějme v \modre{$\E_3$} dvě přímky \modre{$p$} a \modre{$q$}. Jejich vzdálenost jsme definovali \modre{$\qquad\qquad\d(p,q)=\min\{\d(P,Q)|\ P\in p,\ Q\in q\}$}. Představme si přímku, která je na obě přímky \modre{$p$} a \modre{$q$} kolmá. Potom se při kolmé projekci na tuto přímku promítne každá z~přímek \modre{$p$} a \modre{$q$} do jediného bodu. Vzdálenost přímek je vzdáleností těchto dvou bodů. Přesněji to znamená následující: \medskip Vezměmě bod \modre{$A\in p$} a bod \modre{$B\in q$}. Vzdálenost přímek \modre{$p$} a \modre{$q$} je rovna kolmé projekci vektoru \modre{$\vect{AB}$} do ortogonálního doplňku k součtu zaměření \modre{$Z(p)+Z(q)$} obou přímek. \modre{$$\d(p,q)=\n{P_{(Z(p)+Z(q))^\perp}(\vect{AB})}.$$} Body \modre{$P\in p$} a \modre{$Q\in q$} jsou charakterizovány vlastností \modre{$$\vect{PQ}\perp (Z(p)+Z(q)).$$} Ukažme si výpočet na příkladu. \end{frame} %xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx \begin{frame}{Příklad -- vzdálenost přímek} \begin{priklad} V \modre{$\mathcal E_3$} určete vzdálenost přímek $$\modre{ p:\, [-4,5,5]+t(1,-1,0),\quad\mbox{a}\quad q:\,[1,6,8]+s(0,2,-1)}. $$ \end{priklad} \pause \begin{itemize} \item Položme \modre{$A=[-4,5,5]$} a \modre{$B=[1,6,8]$}. Vektor \modre{$\vect{AB}=u=(5,1,3)$}. \item Ortogonální doplněk součtu zaměření \modre{$Z(p)+Z(q)$} je \modre{$ [ (1,-1,0),(0,2,-1)]^\perp =[ (1,1,2)]$}; \modre{$v=(1,1,2)$}. \item Kolmá projekce vektoru \modre{$u$} do \modre{$[v]$} je \modre{$\frac{\la u,v\ra}{\la v,v\ra}\cdot v=2(1,1,2)=(2,2,4)$}. \item Vzdálenost přímek je \modre{$\d(p,q)=\n{(2,2,4)}=2\sqrt{6}$}. \item Body \modre{$P\in p$} a \modre{$Q\in q$}, které realizují vzdálenost přímek, určují vektor, který se rovná výše spočtené kolmé projekci: \modre{$\qquad\qquad \vect{PQ}=(2,2,4).$} \end{itemize} \end{frame} %xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx \begin{frame} {Příklad -- pokračování} \begin{itemize} \item Hledáme je ve tvaru \modre{$P=[-4,5,5]+t(1,-1,0)$} a \modre{$Q=[1,6,8]+s(0,2,-1)$}. Dostaneme tak soustavu tří rovnic pro neznámé \modre{$t$} a \modre{$s$}: \modre{$\begin{pmatrix}1\\6\\8\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}-4\\5\\5\end{pmatrix}-t\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}$} \item Její řešení je \modre{$t=3$} a \modre{$s=-1$}. Proto \modre{$P=[-4,5,5]+3 (1,-1,0)=[-1,2,5]$} a \modre{$Q=[1,6,8]+(-1) (0,2,-1)=[1,4,9]$}. \item Přímka \modre{$PQ$}, která je kolmá k přímce \modre{$p$} i \modre{$q$} a obě přímky protíná, se nazývá \cervene{osa mimoběžek} \modre{$p$} a \modre{$q$}. \end{itemize} \end{frame} %xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx \begin{frame}{Vzdálenost podprostorů} Obecně se vzdálenost podprostorů počítá dle stejného principu. (Vzdálenost se realizuje v kolmém směru.) \begin{veta} Pro každé dva afinní podprostory \modre{$\mathcal P$} a \modre{$\mathcal Q$} v \modre{$\mathcal E_n$} existují body \modre{$P\in \mathcal P$} a \modre{$Q\in \mathcal Q$}, které realizují jejich vzdálenost, tj. \modre{$\d(\P,\Q) =\d(P,Q)$}. Zvolíme-li \modre{$A\in \mathcal P$} a \modre{$B\in \mathcal Q$}, je vektor \modre{$$\vect{PQ}=P_{(Z(\P)+Z(\Q))^\perp}(\vect{AB}),$$} kde \modre{$P_{(Z(\P)+Z(\Q))^\perp}(\vect{AB})$} je kolmý průmět vektoru \modre{$\vect{AB}$} do \modre{$(Z(\mathcal P)+Z(\mathcal Q))^\perp$} Vzdálenost \modre{$\P$} a \modre{$\Q$} je tedy \modre{$$\d(\P,\Q)=\n{(P_{Z(\mathcal P)+Z(\mathcal Q))^\perp}(\vect{AB})}$$} \end{veta} \pause \end{frame} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{frame}{Příklad -- vzdálenost podprostorů} \begin{priklad} Určete vzdálenost podprostorů v \modre{$\mathcal E_5$}: $$\modre{ \sigma :\, [3,3,5,4,1]+a(0,1,0,2,-1)+b(1,-1,1,0,-1)}$$ $$\modre{p:\,[2,-1,2,2,3]+s(1,-1,1,-1,1)}. $$ \end{priklad} \pause $\modre{Z(\sigma)+Z(p)=U=[(0,1,0,2,-1),(1,-1,1,0,-1),(1,-1,1,-1,1)] }$, \pause $\modre{U^\perp =[ (1,0,-1,0,0),(1,3,1,-2,-1)] }$, \pause \modre{$A=[3,3,5,4,1], B=[2,-1,2,2,3]$}, \modre{$\vect{AB}=B-A=(-1,-4,-3,-2,2)$}. Je třeba určit projekci \modre{$\vect{AB}$} do $\modre{U^\perp}$. Zkuste dopočítat sami. \pause Projekcí do $\modre{U^\perp}$ určíme i projekci do $\modre{U}$ a naopak. Proto si můžeme vybrat, do kterého z těchto dvou podprostorů bude jednodušší projekci počítat. \end{frame} %xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx \begin{frame}{Odchylka dvou vektorů} Pro dva nenulové vektory \modre{$u$} a \modre{$v$} vždy platí \modre{$$0\le \frac{|\langle u, v\rangle |}{\|u\|\|v\|}\le 1.$$} Má tedy smysl následující definice. \begin{definice} \cervene{Odchylka $\alpha(u,v)$ vektorů} \modre{$u,v\in V$} ve vektorovém prostoru se skalárním součinem je dána vztahem $$ \modre{ \operatorname{cos}\alpha(u,v)= \frac{\langle u, v\rangle }{\|u\|\|v\|}, \quad 0\le \alpha(u,v)\le \pi}. $$ \end{definice} \pause \ \end{frame} \begin{frame}{Odchylky afinních podprostorů v $\E_3$} \begin{definice} \begin{enumerate} \item[1)] \cervene{Odchylka dvou přímek} \modre{$p$} a \modre{$q$} se zaměřeními \modre{$[u]$} a \modre{$[v]$} je úhel \modre{$\alpha(p,q)\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$}, pro který platí \modre{$$\cos\alpha(p,q) = \frac{|\la u, v\ra|}{\|u\|\|v\|}.$$} \item[2)] Nechť \modre{$p$} je přímka se zaměřením \modre{$[u]$} a \modre{$\rho$} je rovina v~\modre{$\E_3$}. \cervene{Odchylka přímky} \modre{$p$} \cervene{a roviny} \modre{$\rho$} je úhel \modre{$\alpha(p,\rho)\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$} který se rovná odchylce vektoru \modre{$u$} od kolmé projekce \modre{$P(u)$} vektoru \modre{$u$} do zaměření roviny: $$\modre{ \cos\alpha(p,\rho) = \frac{|\la u,P(u)\ra|}{\|u\|\|P(u)\|}=\frac{\n{P(u)}}{\n{u}}}. $$ \end{enumerate} \end{definice} \end{frame} %xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx \begin{frame}{Odchylky -- pokračování} \begin{definice} \begin{enumerate} \item[3)] Jsou-li \modre{$\rho$} a \modre{$\sigma$} dvě roviny v \modre{$\E_3$}, které jsou totožné nebo rovnoběžné, pak je jejich odchylka rovna \modre{$0$}. \item[4)] Je-li průnikem dvou rovin \modre{$\rho$} a \modre{$\sigma$} v \modre{$\E_3$} přímka \modre{$p$}, pak je jejich odchylka \modre{$\alpha(\rho,\sigma)$} rovna úhlu, který svírá přímka \modre{$Z(\rho)\cap Z(p)^\perp$} s přímkou \modre{$Z(\sigma)\cap Z(p)^\perp$} (nakreslete si obrázek) \modre{$$ \alpha(\rho,\sigma) = \alpha(Z(\sigma)\cap Z(p)^\perp, Z(\sigma)\cap Z(p)^\perp) .$$} \end{enumerate} \end{definice} Při počítání odchylky dvou rovin lze také také využít skutečnost, že jejich odchylka je rovna odchylce jejich normálových přímek (přímek kolmých k rovinám). Při počítání odchylky přímky \modre{$p$} od roviny \modre{$\rho$} s normálovou přímkou \modre{$n$} je \modre{$\alpha(p,\rho)=\frac{\pi}{2}-\alpha(p,n)$}. \end{frame} %xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx \begin{frame}{Odchylka podprostorů -- příklad} \begin{priklad} Je dána krychle \modre{$ABCDA'B'C'D'$} (ve standardním označení, tj. \modre{$ABCD$} a \modre{$A'B'C'D'$} jsou stěny, \modre{$AA'$} pak hrana). Určete odchylku vektorů \modre{ $AB'$} a \modre{ $AD'$}. \end{priklad} \pause Uvažujme krychli o hraně \modre{$1$} a umístěme ji v \modre{$\mathbb R^3$} tak, že bod \modre{$A$} bude mít ve standardní bázi souřadnice \modre{$[0,0,0]$}, bod \modre{$B$} pak souřadnice \modre{$[1,0,0]$} a bod \modre{$C$} souřadnice \modre{$[1,1,0]$}. Potom má bod \modre{$B'$} souřadnice \modre{$[1,0,1]$} a bod \modre{$D'$} souřadnice \modre{ $[0,1,1]$}. Pro vyšetřované vektory tedy můžeme psát \modre{$AB'=B'-A=[1,0,1]-[0,0,0]=(1,0,1)$}, \modre{$AD'=D'-A=[0,1,1]-[0,0,0]=(0,1,1)$}. Podle definice odchylky \modre{ $\varphi$} těchto vektorů je pak $$\modre{ \cos(\varphi)=\frac{\langle (1,0,1),(0,1,1)\rangle}{\parallel (1,0,1)\parallel\parallel(0,1,1)\parallel}=\frac12}, $$ tedy \modre{ $\varphi=60^\circ$}. \end{frame} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{frame}{Odchylka podprostorů -- příklad II} \begin{priklad} Určete odchylku rovin \modre{\begin{eqnarray*} \sigma:&&\,[1,0,2]+t\cdot (1,-1,1)+s\cdot (0,1,-2)\, ,\\ \rho:&&\,[3,3,3]+t\cdot (1,-2,0)+s \cdot (0,1,1)\, . \end{eqnarray*} } \end{priklad} \pause Průsečnice má směrový vektor \modre{$(1,-1,1)$}. Kolmá rovina k ní má rovnici \modre{$x_1-x_2+x_3=0$}. Její průniky se zaměřeními daných rovin jsou postupně \modre{$[(1,0,-1)]$} a \modre{$[(0,1,1)]$}. Tyto přímky svírají úhel \modre{$60^\circ$}, neboť \modre{$$\cos\alpha=\frac{\la(1,0,-1),(0,1,1)\ra}{\n{(1,0,-1)}\n{(0,1,1)}}=\frac12.$$} \end{frame} %xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx \begin{frame}{Rovnoběžnostěn a jeho objem} \begin{definice} Nechť \modre{$u_1,u_2,u_3$}, jsou lineárně nezávislé vektory v zaměření \modre{$\mathbb R^n$}, \modre{$A\in \E_3$} je libovolný bod. % \cervene{Rovnoběžnostěn} \modre{$\mathcal P(A;u_1,u_2,u_3)\subseteq \E_3$ } je množina \modre{$$\mathcal P(A;u_1,u_2,u_3)=\{A+c_1u_1+c_2u_2 +c_3u_3 \mid 0\le c_i\le 1, i=1,2,k\} .$$} \end{definice} \cervene{Orientovaný objem rovnoběžnostěnu} \modre{$\P(A,u_1,u_2,u_3)$} daného vektory \modre{$u_1=(a,b,c)$}, \modre{$u_2=(d,e,f)$} a \modre{$u_3=(g,h,i)$} je \modre{$$ \begin{array}{|rrr|} a & d & g\\ b & e & h\\ c & f & i\\ \end{array}\ . $$ } \end{frame} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{frame}{Orientace v prostoru} Řekneme, že uspořádaná trojice vektorů \modre{$u_1,u_2,u_3$} je \cervene{kladně orientovaná báze} vektorového prostoru \modre{$\R^3$}, jestliže determinant matice \modre{$3\times 3$}, v jejichž sloupcích stojí postupně souřadnice vektorů \modre{$u_1$, $u_2$} a \modre{$u_3$} je kladný. Je-li tento determinant záporný, mluvíme o záporně orientované bázi. \medskip Ve fyzice se tento pojem přibližuje pomocí tzv. \cervene{pravidla pravé ruky}: Položte pravou ruku na vektor \modre{$u_1$} tak, aby malíček ukazoval ve směru vektoru \modre{$u_1$} a zahnuté prsty ve směru vektoru \modre{$u_2$}. Ukazuje-li palec ve směru \modre{$u_3$}, má báze \modre{$u_1,u_2,u_3$} kladnou orientaci. \medskip \cervene{Viditelnost}. Pomocí orientace můžeme zjišťovat viditelnost. Mějme v \modre{$\A_3$} čtyřstěn \modre{$ABCD$}. Bod \modre{$X$} leží na stejné straně roviny \modre{$ABC$} jako bod \modre{$D$}, jestliže trojice \modre{$(\vect{AB},\vect{AC},\vect{AX})$} má stejnou orientaci jako trojice \modre{$(\vect{AB},\vect{AC},\vect{AD})$}. Je-li příslušný determinant pro první trojici nulový, leží bod \modre{$X$} v rovině \modre{$ABC$}. Je-li orientace různá, je z bodu \modre{$X$} vidět stěna \modre{$ABC$} zadaného čtyřstěnu. \end{frame} %xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx \begin{frame}{Vektorový součin v $\R^3$} Vektorový součin v \modre{$\R^3$} je zobrazení \modre{$\times:\ \R^3\times\R^3\to \R^3$}, které vektorům \modre{$x=(x_1,x_2,x_3)$} a \modre{$y=(y_1,y_2,y_3$} přiřazuje vektor \modre{$x\times y=z=(z_1,z_2,z_3)$} takový, že \modre{$$z_1=\begin{vmatrix}x_2&y_2\\x_3&y_3\end{vmatrix},\quad z_2=-\begin{vmatrix}x_2&y_2\\x_3&y_3\end{vmatrix},\quad z_3=\begin{vmatrix}x_1&y_1\\x_2&y_2\end{vmatrix}.$$} Vztah mezi vektorovým součinem a skalárním součinem je dán vzorcem \modre{$$\forall u\in R^3:\ \la z,u\ra=\begin{vmatrix}x_1&y_1&u_1\\ x_2&y_2&u_2\\x_3&y_3&u_3\end{vmatrix}.$$} Z tohoto vzorce lze vyčíst geometrický význam vektorového součinu. Vektor \modre{$x\times y$} je vektor kolmý k oběma vektorům \modre{$x$} i \modre{$y$}, jeho velikost je obsahem rovnoběžníku určeného vektory \modre{$x$} a \modre{$y$} a jsou-li \modre{$x$} a \modre{$y$} lineárně nezávislé, pak jsou vektory \modre{$x$}, \modre{$y$} a \modre{$x\times y$} kladně orientované. \end{frame} %xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx \begin{frame}{Shodná zobrazení v $\E_3$} Řekneme, že zobrazení \modre{$F:\E_3\to \E_3$} je \cervene{shodnost v prostoru}, jestliže pro každé dva body \modre{$X$} a \modre{$Y\in\E_3$} platí \modre{$$\d(F(X),F(Y))=\d(X,Y).$$} Lze ukázat, že takové zobrazení je bijekce, zobrazuje přímky na přímky, roviny na roviny a zachovává odchylky mezi mezi těmito afinními podprostory. Shodná zobrazení jsou složením těchto tří typů: \begin{enumerate} \item[1)] Posunutí o pevný vektor \modre{$u$} \modre{$$F(X)=X+u.$$} \item[2)] Otočení kolem přímky \modre{$p$} o úhel \modre{$\alpha$}. Zvolme pevně \modre{$A\in p$}. Potom \modre{$$F(X)=A+R_{\alpha}(X-A),$$} kde \modre{$R_{\alpha}:\R^3\to\R^3$} je otočení kolem přímky \modre{$Z(p)$} procházející počátkem. \end{enumerate} \end{frame} %xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx \begin{frame}{Shodná zobrazení -- pokračování} \begin{itemize} \item[3)] Symetrie podle roviny \modre{$\rho$}. Nechť \modre{$A\in\rho$} je pevný bod. Pak \modre{$$F(X)=A+S_{Z(\rho)}(X-A)=A+(X-A)-2P_{Z(\rho)^\perp}(X-A),$$} kde \modre{$S_{Z(\rho)}:\R^3\to \R^3$} je symetrie podle roviny \modre{$Z(\rho)$} procházející počátkem. Tuto symetrii můžeme spočítat pomocí kolmé projekce\modre{$P_{Z(\rho)^\perp}(X-A)$} vektoru \modre{$X-A$} do \modre{$Z(\rho)^\perp$}. (Namalujte si obrázek.) \end{itemize} Počítání se shodnými zobrazeními si ukážeme na cvičení. \vskip 3cm \end{frame} %xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx \begin{frame}{Požadavky} Umět počítat: \begin{itemize} \item Vzdálenost bodu a podprostoru. \item Vzdálenost přímek (osa mimoběžek). \item Odchylku dvou přímek, odchylka přímky a roviny. \item Odchylku dvou rovin mající jednodimenzionální průnik zaměření. \item Objem rovnoběžnostěnu a čtyřstěnu. \item Viditelnost. \item Vektorový součin. \item Shodná zobrazeními v $\E_3$. \end{itemize} \end{frame} \begin{frame}{Domácí úloha} \begin{priklad}[8.1] V euklidovském prostoru $\mathbb R^3$ určete vzdálenost bodu $B=[2,0,3]$ od přímky $p: [-1,0,0] + t(2,-2,1)$. \end{priklad} \begin{priklad}[8.2] V prostoru $\mathbb R^3$ je dán čtyřstěn $ABCD$, kde $A=[-1,0,1]$, $B=[1,2,-1]$, $C=[-3,2,1]$ a $D=[5,2,3]$. Buď $P$ pata výšky spuštěná z vrchlu $D$ do roviny stěny $ABC$. Určete souřadnice bodu $P$ a velikost výšky $DP$. Dále určete objem čtyřstěnu $ABCD$. Dále je dán bod $X=[2,3,-10]$. Zjistěte, které stěny čteřstěnu $ABCD$ jsou z něho vidět. \end{priklad} \end{frame} \begin{frame}{Domácí úloha} \begin{priklad}[8.3] V euklidovském prostoru $\mathbb R^4$ určete vzdálenost roviny $\sigma$ a přímky $p$: $$\begin{array}{rcl} \sigma &:& [0,0,1,1]+ a\cdot (0,1,0,1)+b\cdot (1,-1,2,0)\, \\ p &:& [1,4,2,0] + c\cdot (-1,1,1,0) \end{array}$$ a body v nichž se realizuje. \end{priklad} \begin{priklad}[8.4] V $\mathbb R^3$ určete odchylku roviny $\sigma: x+2y+z=5$ a \begin{itemize} \item[i)] přímky $p:[1000,2013,0]+t\cdot (1,1,1)$; \item[ii)] roviny $2x+y-z=2013$. \end{itemize} \end{priklad} \end{frame} \begin{frame}{Domácí úloha} \begin{priklad}[8.5] Mějme v $\mathbb R^3$ body $A=[2,-1,3]$, $B=[1,2,3]$ a $C=[2,-3,8]$. Určete obsah trojúhelníku $ABC$. \end{priklad} \end{frame} \end{document}