\documentclass{fja}
\usepackage[shorthands=off,czech]{babel}

\newcommand{\divides}{\mid}

% vim: spell spelllang=cs

\assignment{4}
\exercise{2}
\points{0,5}
\duedate{18. 3. 2024 12:00}

%%% ZDE NAPISTE SVOJE UCO A JMENO
\name{}
\uco{}


\begin{document}
\begin{zadani}
Uvažte následující čtyři relace na slovech nad abecedou $\Sigma = \{a,b,c\}$:

\begin{enumerate}[a)]
    \item $u R_1 v$ $\stackrel{\textit{def}}{\Longleftrightarrow}$ $2 \divides \#_a(u) \Longleftrightarrow 2 \divides \#_a(v)$
    \item $u R_2 v$ $\stackrel{\textit{def}}{\Longleftrightarrow}$ $u$ a $v$ začíná na stejný počet písmen $a$
    \item $u R_3 v$ $\stackrel{\textit{def}}{\Longleftrightarrow}$ $u$ končí na $a \land v$ končí na $a$
    \item $u R_4 v$ $\stackrel{\textit{def}}{\Longleftrightarrow}$ $u$ končí na $aa \Longleftrightarrow v$ končí na $aa$
\end{enumerate}

\smallskip
\noindent
Pro každou z uvedených relací rozhodněte, zda se jedná o ekvivalenci. Pokud to
není ekvivalence, dokažte proč. Pokud to ekvivalence je, toto tvrzení
nedokazujte, pouze určete její index a popište jednotlivé třídy rozkladu podle
dané relace. Následně rozhodněte, zda jde o pravou kongruenci a své tvrzení
dokažte (s důkazem, že relace je pravá kongruence, vám může pomoct tvrzení 2.21
ze skript, nezapomeňte však, že pokud se odvoláváte na definice, věty nebo
důkazy z materiálů, musíte vždy uvést, kde a jak je používáte).
\end{zadani}

\begin{reseni}
%%% SEM PISTE SVE RESENI
\end{reseni}

\end{document}
