Algebra II – jaro 2022 – 3. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Popište svaz podalgeber algebry (Z, ∗), kde ∗ je binární operace definovaná
předpisem
a ∗ b =



a + 1, pokud a = −b a současně a = 0,
a − 1, pokud a = −b a současně a = 0,
b, pokud a = 0.
2. (5 bodů) Uvažujme množinu L, jejímiž prvky jsou právě podmnožiny množiny N0,
jejichž žádný prvek není násobkem jiného. Na L definujeme uspořádání předpisem
A ≤ B ⇐⇒ A = B nebo ∃n ∈ B ∀m ∈ A: m | n.
Rozhodněte, zda uspořádaná množina (L, ≤) je svaz.
3. (5 bodů) Uvažujme uspořádanou množinu, jejímiž prvky jsou největší prvek a
všechny posloupnosti přirozených čísel (ai)∞
i=1 takové, že pro všechna i ∈ N platí
|ai −ai+1| ≤ 1, přičemž (ai)∞
i=1 ≤ (bi)∞
i=1 platí právě tehdy, když pro všechna i ∈ N
je splněno ai ≤ bi. Rozhodněte, zda tato uspořádaná množina je úplný svaz.
4. (5 bodů) Uvažujme množinu L, jejímiž prvky jsou právě podmnožiny U ⊆ R2
takové, že platí alespoň jedna z následujících podmínek:
1) Všechny body množiny U leží na jedné přímce.
2) Žádná trojice bodů množiny U neleží na stejné přímce.
Rozhodněte, zda přidáním největšího prvku k uspořádané množině (L, ⊆) vznikne
algebraický svaz.
5. (10 bodů) Uvažujme algebru A = (0N∗
, (fa)a∈N), jejímiž prvky jsou všechny
konečné posloupnosti přirozených čísel začínající nulou a kde každá operace fa je
unární a provádí přidání čísla a na konec posloupnosti, tj. fa(v) = va. (Až na
izomorfismus je A algebra termů nad jednou proměnnou v jazyce spočetně mnoha
unárních operačních symbolů.) Pro libovolnou posloupnost v = a0a1 . . . an, kde
n ≥ 0, a0 = 0 a a1, . . . , an ∈ N, označme pro každé k ∈ Z symbolem d−
k (v) počet
indexů i ∈ {1, . . . , n} takových, že ai − ai−1 = k, a pro každé k ∈ N označme
symbolem d+
k (v) počet indexů i ∈ {1, . . . , n} takových, že ai +ai−1 = k. Pro každý
z následujících předpisů rozhodněte, zda definuje kongruenci algebry A:
v ∼ w ⇐⇒ ∀k ∈ Z: d−
k (v) = d−
k (w),
v ≈ w ⇐⇒ ∀k ∈ N: d+
k (v) = d+
k (w).
6. (10 bodů) Uvažujme typ algeber sestávající z unárního operačního symbolu f
a binárního operačního symbolu •. Buď A množina všech izotonních zobrazení
ϕ: (N, ≤) → (N, ≤), která nejsou omezená (tj. pro každé m ∈ N existuje n ∈ N
splňující ϕ(n) ≥ m). Pro každou z následujících identit rozhodněte, zda je splněna
v algebře A = (A, fA
, •A
), jejíž operace jsou pro libovolné ϕ, ψ ∈ A definovány
předpisy (fA
(ϕ))(m) = min{ n ∈ N | ϕ(n) ≥ m } a ϕ •A
ψ = ϕ ◦ ψ (ϕ po ψ).
a) (x • f(x)) • x = x b) f(x) • x = f(y) • y
7. (15 bodů) Rozhodněte, na které z operátorů H, S a P je uzavřená třída všech
svazů L, které splňují následující podmínku:
Je-li L ohraničený, potom má každý jeho prvek nejvýše jeden komplement.