Algebra II – jaro 2024 – 3. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Popište svaz podalgeber algebry (Z, ∗), kde ∗ je binární operace definovaná
předpisem
a ∗ b =
b − 1, pokud a = b = 0,
b, jinak.
2. (5 bodů) Uvažujme množinu L, jejímiž prvky jsou všechny podmnožiny M ⊆ R
takové, že pro všechna a, b ∈ M splňující a < b existuje c ∈ M splňující a < c < b.
Rozhodněte, zda uspořádaná množina (L, ⊆) je svaz.
3. (5 bodů) Uvažujme množinu L, jejímiž prvky jsou všechny relace ekvivalence ∼
na množině N takové, že rozklad N podle ∼ má právě jednu nekonečnou třídu a
právě jednu jednoprvkovou třídu. Rozhodněte, zda přidáním největšího a nejmenšího
prvku k uspořádané množině (L, ⊆) získáme úplný svaz.
4. (5 bodů) Uvažujme uspořádanou množinu (L, ≤) = (P(N), ⊆) × (P(N), ⊆) a její
podmnožinu M = { (A, B) | A, B ∈ P(N), A ∩ B = ∅ }. Rozhodněte, zda přidáním
největšího prvku k uspořádané množině (M, ≤) získáme algebraický svaz.
5. (10 bodů) Pro libovolné slovo u ∈ {a, b}∗
označme |u|a počet výskytů písmene
a ve slově u (a analogicky pro b) a D(u) = |u|a − |u|b. Dále pro slovo w ∈ {a, b}∗
označme
P(w) = { D(u) | u je prefix slova w } a
C(w) = { (D(u), D(v)) | u, v ∈ {a, b}∗
taková, že uv = w }.
Pro každý z následujících předpisů rozhodněte, zda definuje kongruenci volného
monoidu ({a, b}∗
, ·):
w ∼ w ⇐⇒ P(w) = P(w ), w ≈ w ⇐⇒ C(w) = C(w ).
(Prefixem slova w ∈ {a, b}∗
rozumíme libovolné slovo u ∈ {a, b}∗
takové, že existuje
slovo v ∈ {a, b}∗
splňující uv = w.)
6. (10 bodů) Uvažujme typ algeber sestávající z binárních operačních symbolů •
a a unárních operačních symbolů f a g. Pro každou z následujících identit
rozhodněte, zda je splněna v algebře
A = (P(N), •A
, A
, fA
, gA
),
jejíž operace jsou pro libovolné množiny kladných celých čísel M a N definovány
následovně:
M •A
N = { nsn(m, n) | m ∈ M, n ∈ N },
M A
N = { nsd(m, n) | m ∈ M, n ∈ N },
fA
(M) je nosič podalgebry algebry (N, nsn) generovaný podmnožinou M,
gA
(M) je nosič podalgebry algebry (N, nsd) generovaný podmnožinou M.
a) (x • x) (x • x) = (x x) • (x x)
b) f(g(x)) = g(f(x))
7. (15 bodů) Rozhodněte, na které z operátorů H, S a P je uzavřená třída všech
svazů L, v nichž pro každý prvek a ∈ L platí, že pokud množina { b ∈ L | b < a }
obsahuje alespoň dva prvky, potom obsahuje nějaké dva nesrovnatelné prvky.