\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\d{\operatorname{dist}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  1. cvičení z MB141, jaro 2023}
\end{center}
\bigskip
Toto je maximalistický plán, celý se nedá stihnout. Ve skupině 02 jsme zvládli úlohy 1, 2, 3, 4, 6. Vzorce z příkladu 3 většina studentů nezná. Pro počítání příkladu 6 je dobré připomenout, jak se počítá s mocninami. 

\bigskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ } Jak poznáme, že je celé číslo dělitelné 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11? Svá tvrzení zdůvodněte.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } Ukažte, že součin pěti po sobě jdoucích čísel je dělitelný 120.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ } Nejdříve pro $n=2,3$ a potom pro další $n\in\N$ si připomeňte 
\begin{enumerate}
\item[a)]  vzorec pro součet $n$-tých mocnin dvou čísel,
\item[b)]  vzorec pro rozdíl $n$-tých mocnin dvou čísel,
\item[c)] vzorec pro $n$-tou mocninu součtu, tzv. binomický vzorec.
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ } Za pomoci předchozího příkladu, ukažte, že pro každé $n\in\N$
\begin{enumerate}
\item[a)]  číslo $3$ dělí číslo $4^n-1$,
\item[b)] číslo $5$ dělí číslo $n^5-n$
\item[c)] číslo $5$ dělí číslo $3^{3n+1}+2^{n+1}$.
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ } 
Dokažte, že pro libovolná celá čísla $a$ platí:
\begin{enumerate}
\item $a^2$ má po dělení $4$ zbytek $0$ nebo $1$.
\item  $a^2$ má po dělení $8$ zbytek $0$, $1$ nebo $4$.
\item $a^4$ má po dělení $16$ zbytek $0$ nebo $1$.
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ }
Jaké jsou poslední dvě cifry čísel:
$7^{14}$, $3^{59}$?
\end{zad}

\bigskip
%příklad 7
\begin{zad}{\bf 7.\ }
Najděte největšího společného dělitele čísel
\begin{enumerate}
\item[(a)] 227, 133,
\item[(b)] 3441, 2665.
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
%příklad 8
\begin{zad}{\bf 8.\ } 
Nalezněte celá čísla $x$ a $y$ tak, aby $883x+487y=d$ byl největší společný dělitel čísel $883$ a $487$. Spočtěte $x$  a $y$ i pro dvojice čísel z předchozíhom příkladu.
 \end{zad}

\bigskip
%příklad 9
\begin{zad}{\bf 9.\ }
Najděte všechna přirozená $n$ taková, že
$n-1\mid n^3+1$.
 \end{zad}


\bigskip
%příklad 10
\begin{zad}{\bf 10.\ }
Dokažte, že pro přirozená čísla $a$, $k$ a $n$ platí: jestliže $k\mid n$, pak $a^k-1\mid a^n-1$. Pomocí toho dokažte: Je-li $2^n-1$ prvočíslo, pak $n$ musí být také prvočíslo. Proto se ``největší'' prvočísla hledají ve tvaru $2^p-1$, kde $p$ je prvočíslo.  
 \end{zad}
 

\bigskip
%příklad 11
\begin{zad}{\bf 11.\ }
Dokažte, že $25\mid 4^{2n+1}-10n-4$.
 \end{zad} 

\end{document}

