1. cvičení z MB141, jaro 2023
Toto je maximalistický plán, celý se nedá stihnout. Ve skupině 02 jsme zvládli úlohy 1, 2, 3, 4, 6. Vzorce z příkladu 3 většina studentů nezná. Pro počítání příkladu 6 je dobré připomenout, jak se počítá s mocninami.
Příklad. 1. Jak poznáme, že je celé číslo dělitelné 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11? Svá tvrzení zdůvodněte.
Příklad. 2. Ukažte, že součin pěti po sobě jdoucích čísel je dělitelný 120.
Příklad. 3. Nejdříve pro n = 2, 3 a potom pro další n G N si připomeňte
a) vzorec pro součet n-tých mocnin dvou čísel,
b) vzorec pro rozdíl n-tých mocnin dvou čísel,
c) vzorec pro n-tou mocninu součtu, tzv. binomický vzorec.
Příklad. 4. Za pomoci předchozího příkladu, ukažte, že pro každé n EN
a) číslo 3 dělí číslo 4n — 1,
b) číslo 5 dělí číslo rŕ — n
c) číslo 5 dělí číslo 33n+1 + 2n+1.
Příklad. 5. Dokažte, že pro libovolná celá čísla a platí:
(1) a2 má po dělení 4 zbytek 0 nebo 1.
(2) a2 má po dělení 8 zbytek 0, 1 nebo 4.
(3) a4 má po dělení 16 zbytek 0 nebo 1.
Příklad. 6. Jaké jsou poslední dvě cifry čísel: 714, 359?
Příklad. 7. Najděte největšího společného dělitele čísel
(a) 227, 133,
(b) 3441,2665.
Příklad. 8. Nalezněte celá čísla x ay tak, aby 883rc+ 487y = d byl největší společný dělitel čísel 883 a 487. Spočtěte x ay i pro dvojice čísel z předchozíhom příkladu.
Příklad. 9. Najděte všechna přirozená n taková, že n — 1 | n3 + 1.
Příklad. 10. Dokažte, že pro přirozená čísla a, k a n platí: jestliže k \ n, pak ak — 1 | an — 1. Pomocí toho dokažte: Je-li 2n — 1 prvočíslo, pak n musí být také prvočíslo. Proto se "největší" prvočísla hledají ve tvaru 2P — 1, kde p je prvočíslo.
Příklad. 11. Dokažte, že 25 | 42n+1 - lOn - 4.
i