\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\d{\operatorname{dist}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  10. cvičení z MB141, jaro 2023}
\end{center}

\bigskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ } Zopakujte definici skalárního součinu v $\R^2$ a v $\R^3$. V $\R^3$ spočtěte velikosti a vzájemnou odchylku vektorů $u=(2,2,-1)$ a $v=(-2,0,2)$.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ }
V $\R^3$ najděte ortogonální doplněk podprostoru
$$M=\left[(1,2,-1),\ (1,-2,5)\right].$$
\end{zad}

\begin{res} $M^\perp=\left[(-4,3,2)\right]$
\end{res}

\bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ }
Spočtěte kolmou projekci vektoru $u=(7,-16,9)$ do podprostoru $M$ a jeho ortogonálního doplňku $M^{\perp}$ z předchozího příkladu.
 \end{zad}
 
 \begin{res} $P_M(u)=(-1,-10,13)$, $P_{M^\perp}(u)=(8,-6,-4)$.
 \end{res}

\bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ }
Nechť $\varphi:\R^3\to \R^3$ je kolmá projekce na rovinu
$$2x_1-x_2+2x_3=0.$$
Najděte matici $A$ tvaru $3\times 3$ takovou, že v souřadnicích standardní báze je
$$\varphi(x)=Ax=A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}.$$  
 \end{zad}
 
 \begin{res} $A=\frac19\begin{pmatrix}
 5&2&-4\\
 2&8&2\\
 {-4}&2&5
 \end{pmatrix}$
 \end{res}


\bigskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ } 
V $\mathcal E_3$ spočítejte vzdálenost bodu $A=[5,7,1]$ od roviny
$$\rho:\ x_1+3x_2-2x_3+4=0.$$
Současně najděte bod $C\in \rho$ takový, že  $\d(A,C)=\d(A,\rho)$.
\end{zad}

\begin{res} $\d(A, \rho)=\sqrt{56}$, $C=[3,1,5]$.
\end{res}

\bigskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ }
V $\mathcal E_3$ spočítejte vzdálenost přímek
$$p:\ [4,4,4]+a(2,1,-1)\quad\text{a}\quad q:\ [1,15,12]+b(1,-2,1).$$
Dále najděte body $K\in p$ a $L\in q$, v nichž se vzdálenost přímek realizuje, tj.  platí $\d(K,L)=\d(p,q)$.
\end{zad}

\begin{res} $\d(p,q)=2$, $K=[2,3,5]$, $L=[4,9,15]$.
\end{res}


\bigskip
%příklad 7
\begin{zad}{\bf 7.\ }
V $\mathcal E_3$ určete odchylku roviny $\rho$ od přímky $p$:
$$\rho:\ [1,3,5]+a(1,1,1)+b(1,3,2), \quad p:\ [-3,1,7]+c(1,0,-1).$$ 
 \end{zad}

\begin{res} Odchylka normály roviny od  vektoru $(1,0,-1)$ je $\pi/6$, proto je odchylka od roviny rovna $\pi/3$. 
\end{res}

\bigskip
%příklad 8
\begin{zad}{\bf 8.\ }
V $\mathcal E_3$ určete odchylku rovin $\rho$ a $\sigma $:
$$\rho:\ [2,3,4]+a(2,2,1)+b(3,3,-2), \quad \sigma:\ x_1-2x_2+x_3=4.$$ 
\end{zad}

\begin{res} Odchylka je $\pi/6$. Počítejte přes odchylku normál. 
\end{res}




\end{document}

