10. cvičení z MB141, jaro 2023
Příklad. 1. Zopakujte definici skalárního součinu v IR2 a v IR3. V IR3 spočtěte velikosti a vzájemnou odchylku vektorů u = (2, 2, — 1) a v = (—2, 0, 2).
Příklad. 2. V IR3 najděte ortogonální doplněk podprostoru
M = [(1,2,-1), (1,-2,5)].
Řešení. M1- = [(-4,3,2)] □
Příklad. 3. Spočtěte kolmou projekci vektoru u = (7, —16,9) do podprostoru M a jeho ortogonálního doplňku M1- z předchozího příkladu.
Řešení. PM{u) = (-1,-10,13), PM±{u) = (8, -6, -4). □
Příklad. 4. Nechť tp : IR3 —ř IR3 je kolmá projekce na rovinu
2a; i — x2 + 2x3 = 0. Najděte matici A tvaru 3x3 takovou, že v souřadnicích standardní báze je
Řešení. A = | |  2    8    2  | □
Příklad. 5. V £3 spočítejte vzdálenost bodu A = [5,7,1] od roviny
p : Xi + 3x2 — 2x3 + 4 = 0. Současně najděte bod Cep takový, že dist(A, C) = dist(A, p).
Řešení. dist(A, p) = y/56, C = [3,1,5]. □
Příklad. 6. V £3 spočítejte vzdálenost přímek
p: [4,4,4] + a(2,l,-l)   a   q : [1,15,12] + 6(1, -2,1).
Dále najděte body K E paL E q, v nichž se vzdálenost přímek realizuje, tj. platí dist (K, L) --dist(p, q).
Řešení. dist(p, q) =2,K = [2, 3, 5], L = [4, 9,15]. □
Příklad. 7. V £3 určete odchylku roviny p od přímky p:
p: [l,3,5]+a(l,l,l) + 6(l,3,2),   p : [-3,1, 7] + c(l, 0,-1).
Řešení. Odchylka normály roviny od vektoru (1, 0, — 1) je n/Q, proto je odchylka od roviny
rovna 7r/3. □
i
2
Příklad. 8. V £3 určete odchylku rovin p a a:
p : [2,3,4] + a(2,2,1) + 6(3, 3, -2),   a : Xl - 2x2 + x3 = 4.
Řešení. Odchylka je n/Q. Počítejte přes odchylku normál. □