MB141 -2. přednáška Soustavy lineárních rovnic a počítání s maticemi Martin Čadek s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101 Jarní semestr 2022 □ - = 2. přednáška Soustavy lin. rovnic Osnova přednášky • Soustavy lineárních rovnic • Gaussova eliminace • Operace s maticemi 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 2/18 Soustava lineárních rovnic Naším cílem bude řešit soustavy lineárních rovnic. Pro zadaná čísla a,y a b\ hledáme čísla x1, x2,..., xn, která splňují rovnice a^xA + a12x2 + c*21 X-\ + č*22 X2 + + &\ n*n S2nxn b2 3/c1*1 + a/c2^2 + + ^knxn = Ď/c To je soustava /c lineárních rovnic o n neznámých X-| , X2, . . . , X/7. • Říkáme, že dvě soustavy jsou ekvivalentní, jestliže mají stejnou množinu řešení. • Postup řešení - přechod od zadané soustavy k ekvivalentní soustavě, kterou již umíme vyřešit. • Provádíme pomocí tzv. elementárních úprav. 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 3/18 Elementární úpravy jsou • záměna pořadí dvou rovnic, * vynásobení rovnice nenulovým číslem, 9 k dané rovnici přičteme c-násobek jiné rovnice. K provádění těchto úprav nemusíme psát rovnice. Stačí, když budeme zaznamenávat koeficienty u neznámých a koeficienty pravé strany. K tomu použijeme tzv. rozšířenou matici soustavy. ( &w a-i 2 321 ^22 32n (A\b) Její levá část, matice A, se nazývá matice soustavy. 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 4/18 Elementární řádkové operace Elementárním úpravám soustavy rovnic pak odpovídají následující elementární řádkové operace s rozšířenou maticí soustavy. • záměna dvou řádků matice, • vynásobení řádku nenulovým číslem, • k danému řádku přičteme c-násobek jiného řádku. Které soustavy lze jednoduše vyřešit? Jsou to ty, jejichž rozšířená matice soustavy je v tzv. schodovitém tvaru. Příkladem je následující matice 2 2 0 0 0 0 2 1 1 1 2 1 0 1 2 3 0 popisující soustavu o neznámých x1, x2, x3, x4, x5. □ - = 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 5/18 Příklad soustavy s maticí schodovitého tvaru 2 2-21 1 0 0 12 1 0 0 0 1 2 V třetí rovnici zvolíme x5 za parametr a spočítáme x4: *5 = P, *4 = 1 - 2p. Z druhé rovnice spočítáme x3 = -p-2(1 -2p) = 3p-2. V prvé rovnici zvolíme x2 za parametr a spočítáme Ai: *2 = s, *1 = ±(3-2s + 2(3p-2)-(1-2p)-p) = JLd 2V~ 1 _/ v 2 Řešením příslušné sosutavy jsou tedy všechny pětice -p - s - 1, s, 3p - 2,1 - 2p, p , kde p, s e R. = —D — S — 1 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 6/18 Schodovitý tvar matice První nenulové číslo v řádku matice se nazývá pivot nebo také vedoucí koeficient tohoto řádku. Matice A = (a,y) je ve schodovitém tvaru, jestliže: • Její nulové řádky, pokud nějaké má, jsou dole. • Je-li a,y pivot Mého řádku, pak (/ + 1 )-ní řádek je buď nulový nebo jeho pivot a/+1?p je vpravo od a,y, tj. p > y. Matice v řádkově schodovitém tvaru vypadá takto /0...0 a-ij a-ij+1 ... a^/c-1 a^^ ......... ai,™\ 0 ... 0 0 0 ... 0 ......... C?2,A77 0...0 0 0 ... 0 0 ... c?3,p • • • ^3,A7? ■ ■ ■ V : : J a matice může, ale nemusí, končit několika nulovými řádky. 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 7/18 Algoritmus - Gaussova eliminace Nenulovou matici s prvky v R nebo Q lze konečně mnoha elementárními řádkovými transformacemi převést na schodovitý tvar. (1) Záměnou řádků docílíme, že v prvním řádku bude v prvním nenulovém sloupci nenulový prvek, nechť je to y-tý sloupec. (2) Pro / = 2,..vynásobením prvního řádku prvkem a,y, Mého řádku prvkem a1y- a odečtením vynulujeme prvek a,y na Mém řádku. (3) Opakovanou aplikací bodů (1) a (2), vždy pro zbytek řádků a sloupců v získané matici dospějeme po konečném počtu kroků k požadovanému tvaru. (4) Ze schodovitého tvaru vidíme, zda je soustava řešitelná. Pokud ano, umíme popsat množinu všech řešení. 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 8/18 Gaussova eliminace na příkladě Příklad_ Vyřešte soustavu lineární ch rovnic 2*1 + 3x2 + - x4 = -2 + 2x2 + 4x3 - - 2x4 = 0 *2 + 4x3 - - xA = 2 Matici soustavy upravíme pomocí Gaussovy eliminace na schodovitý tvar: ►► 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 9/18 Ještě jednou s jinou pravou stranou Odtud dostaneme řešení [Xi,X2,X3,X4] = r4 12 4 6 8 1 i iš 5q+5P>~ 5 + 5" gP, Q, P Příklad Vyřešte soustavu lineárních rovnic 2xi + 3x2 + x4 = 1 3xi + 2x2 + 4x3 - 2x4 = 0 x2 + 4x3 - x4 = 2 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 10/18 Řešení pro jinou pravou stranu Matici soustavy upravíme stejnými úpravami jako v předchozím případě na schodovitý tvar: 2 3 0 -1 1 3 2 4 -2 0 1 -1 4 -1 2 1 -1 4 -1 2 0 5 -8 1 -6 0 0 0 0 3 Poslední řádek vede na rovnici 0x-| + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 3, která evidentně nemá řešení. Tedy ani původní soustava nemá řešení (množina řešení je prázdná). 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 11/18 Další příklad Příklad Vyřešte soustavu lineárních rovnic. / 2 4 1 5-1 1 2 0 2 0 0 1 2 0 3 1 2 ^ 2 4 2 5 -3 o J Řešení [-4,0, -1,2,0] + r(-2,1,0,0,0) + s(2,0,2,-1,1). Množina řešení soustavy (nad reálnými čísly R nebo racionálními čísly Q) je: jednoprvková, prázdná nebo nekonečná. Pro homogenní soustavy (pravé strany nulové) je množina řešení jednoprvková nebo nekonečná. 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 12/18 Operace s maticemi - sčítání matic a násobení číslem Matice A tvaru k x n je tabulka s k řádky a n sloupci tvořená čísly Ajj. První index / značí řádek, druhý index j značí sloupec. Matice A a 0 stejného rozměru k x n lze sčítat a to tak, že sčítáme prvky obou matic umístěné ve stejném řádku a sloupci. Výsledkem součtu je matice A + 0 tvaru k x n s prvky Každou matici A můžeme násobit reálným číslem r tak, že tímto číslem vynásobíme každý prvek matice. Výsledkem je matice rA s prvky {rA)ij = r • Ajj. Transponovaná matice k matici A tvaru k x n je matice AT tvaru n x k určená předpisem Slovy: řádky matice A napíšeme jako sloupce matice A1 .-= t 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 13/18 Násobení matic Násobení matic není definováno po složkách! Násobit můžeme pouze matici A tvaru k x n s maticí B tvaru n x p. Výsledkem násobení je matice A • B tvaru k x p. Má stejný počet řádků jako A a stejný počet sloupců jako B. V /-tém řádku a y-tém sloupci matice A • S stojí číslo Speciálně součinem řádku délky n a sloupce výšky n je číslo, zatímco součinem sloupce výšky k a řádku délky p je matice tvaru /exp. Množinu všech matic tvaru k x n, jejichž prvky jsou reálná čísla, označujeme Mat/^M). {A • B)íj = Ai Šly + A'2^2y + ' + AnS s=1 □ - = 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 14/18 Vlastnosti násobení matic Násobení je asociativní A • (B • C) = (A • B) • C. Je distributivní vzhledem ke sčítání A • (B + C) = A • B + A • C, (K + Ľ) - M = K - M + Ľ M. Pro každé n e N existuje jednotková matice En tvaru n x n taková, že (En)a = 1 a = 0 pro / ^ j. Pro každou matici A tvaru k x n platí E/c • >A = A, A - En = A. Ukazuje se, že takto definované násobení je užitečné. Prvním příkladem je zápis soustav rovnic pomocí maticového násobení. S dalšími příklady se setkáme v dalších přednáškách, speciálně v deváté přednášce o lineárních modelech. >oq,o 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 15/18 Maticový zápis systémů lineárních rovnic • Soustava aAAxA + a12x2 + ai3*3 = *>i a21x-i + a22*2 + 223X3 = b2 331 x1 + ^32x2 + ^33X3 = Ď3 • Zápis pomocí násobení matic: / au a12 ai3 \ / xA \ / bi \ a2i a22 a23 • x2 = ď2 v a3i a32 a33 / \ x3 / \ 63 / • Stručně píšeme A> x = b, kde xg K3, b eK3 (sloupce). • Obecně x g Rn, b g Rk a tedy A g MaŕM(R. Přesněji x g Mařn?1 (K) a ď g Maŕ^-i (K). • /A matice soustavy, (A | £>) rozšířená matice soustavy. 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 16/18 Domácí úloha Příklad (2.1) Nalezněte všechny symetrické matice A rozměru 3 x 3 s jedničkami na diagonále, pro které platí >A-(1,1,1)r = (1,2,3)r. Příklad (2.2) Řešte následující soustavu lineárních rovnic v IR, kde x1, x2, x3 jsou neznámé a a a Ď jsou parametry. Tzn. určete, pro které hodnoty a, Ď g IR má soustava řešení, a pro tato a, b popište množinu všech řešení dané soustavy. 2x-| +3x2 +ax3 = 1 3^ +2x2 +bx3 = -1 x-i +2x2 = 1 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 17/18 Domácí úloha Příklad (2.3) Pro libovolnou elementární úpravu nalezněte matici, která ji realizuje pomocí násobení. Tj. pokud A ~ B je jedna úprava: pak existuje matice U taková, že B = U • A. 2. přednáška Soustavy lin. rovnic 18/18