MB141 -7. přednáška Afinní geometrie
Martin Čadek
s využitím přednášky Ondřeje Klímy pro předmět MB101
Jarní semestr 2022
7. přednáška       Afinní geometrie
1/27
Osnova přednášky
a Afinní podprostory v Rn
a Parametrický a implicitní popis
• Hodnost matice a soustavy lineárních rovnic
• Průnik a součet afinních podprostorů
• Vzájemná poloha afinních podprostorů
• Standardní úlohy
7. přednáška       Afinní geometrie
2/27
Geometrie ve vícerozměrném prostoru
Pokud bereme IR3 jako vektorový prostor, tak všechny jeho vektorové podprostory jsou
• {0} množina obsahující pouze nulový vektor (počátek), o přímky procházející počátkem,
• roviny procházející počátkem, a celé IR3.
Chceme-li se ale zabývat geometrií v prostoru, potřebujeme pracovat se všemi přímkami a všemi rovinami. Proto zavádíme pojem afinního prostoru a jeho afinních podprostorů. Prvky IR3 (obecně Rn) bereme jednak jako body, jednak jako vektory, tj. uvažujeme množinu bodů B a vektorový prostor V a přitom máme operaci „přičtení vektoru k bodu": + : B x V    B, (B, v) h> B+ v a s ní sdruženou operaci „rozdíl
bodů": -:BxB^V,(A,B)^B-A = ÄŠ.
7. přednáška       Afinní geometrie
3/27
Afinní prostory
Definice
Buď V = Rn vektorový prostor. Standardní afinní prostor An= Rn je množina všech bodů v Rn spolu s operací, která bodu A=[ai,...,an]eAnB. vektoru v =    ,..., vn) e V přiřadí bod A + v = [a-i + ^,..., an + vn] e An-
Tato operace splňuje následující tři vlastnosti: O A + 0 = A pro všechny body Ae Ana nulový vektor 0 g V. O A + (v + w) = (A + v) + w pro všechny vektory v, w e V, a body A e Am
O pro každé dva body A,BeAn existuje právě jeden vektor v e V takový, že A + v = B. Značíme jej B - /A, nebo AĚ.
Vektorový prostor V nazýváme zaměření afinního prostoru An-Abychom předešli nejasnostem, tak oddělíme formálně množinu An a V tak, že body z An píšeme do hranatých závorek: A = [a-i,..., an] g An-
7. přednáška
Afinní geometrie
4/27
Afinní souřadná soustava
Pokud zafixujeme jeden pevný bod A0 e An a pevnou bázi a =    ,..., un) ve V, tak dostáváme pro každý bod A e An jednoznačné vyjádření
A = A0 + x^u^ H-----Vxnun.
Hovoříme o afinní soustavě souřadnic (A0;   ,..., un) zadané počátkem afinní souřadné soustavy A0 a bazí zaměření a.
Afinní souřadnice bodu A = A0 + x1   H-----h xni/n v soustavě
(Ao-,Ui,...,Un) JSOU [xl5...,Xn].
Obvykle bereme A0 = [0,..., 0] a standardní bázi a = en. Potom jsou afinní souřadnice bodu A=[a^,...,an] stejná n-tice
7. přednáška       Afinní geometrie
5/27
Afinní podprostory
Definice
Neprázdná podmnožina M afinního prostoru An se zaměřením V se nazývá afinní podprostor v Am jestliže existuje vektorový podprostor W c V takový, že pro některý bod A e M je podmnožina
M = {A+veAn\veW}. Zapisujeme M = A + W.
• Vektorový podprostor W se nazývá zaměření afinního podprostoru M. Značíme ho Z(M) a píšeme
M = A + Z(M).
• Dimenzí afinního podprostoru rozumíme dimenzi jeho zaměření.
7. přednáška       Afinní geometrie
6/27
Afinní kombinace bodů
Afinní kombinací bodů B a C z An je bod
D = (1 - X)B + XC
definovaný jako součet bodu a vektoru takto D = B + A(C - B). Jsou-li body B a C různé, pak všechny jejich afinní kombinace vytvářejí přímku. Pomocí afinních kombinací můžeme afinní podprostory charakterizovat takto:
Věta
Neprázdná podmnožina M c An je afinní pod prostor, právě když s každými dvěma body obsahuje všechny jejich afinní kombinace. To geometricky znamená, že M s každými dvěma body obsahuje i přímku, která jimi prochází
7. přednáška       Afinní geometrie
7/27
Parametrický popis
Nechť M = A + Z(M) je afinní podprostor v An a ,..., uk) je báze Z(M) c IRn. Pak vyjádření podprostorů
.M = {A + U t/i + • • • + tkuk | ři,..., tk g R} nazýváme parametrický popis podprostorů M. Příklady:
• Příkladem na parametrický popis přímky v A3 je p : X = [2,3, -8] + ř(4,1,5), v jednotlivých souřadnicích x1 = 2 + 4ř5 x2 = 3 + ř, x3 = -8 + 5ř.
9 Příkladem na parametrický popis roviny v A3 je
a : X = [3, -1,2] + r(4,6,1) + s(-1,0,3), v souřadnicích x-, = 3 + 4r - s, x2 = -1 + 6r, x3 = 2 + r + 3s.
7. přednáška       Afinní geometrie
8/27
Implicitní (obecný) popis afinního podprostoru
Uvažujme soustavu 4 lineárních rovnic o 5 neznámých Ax = b. Rozšířenou matici soustavy upravíme na schodovitý tvar
/ 2 4 1
1 2 0
1 2 0
V 2 4 2
5 -1
2 0
3 1
5 -3
1 \ 0
2 0 /
/ 1 2 0  2 0
0 0 11-1
0 0 0  1 1
V 0 0 0 0 0
1
2
0 /
Řešením je množina
M = {[-4,0, -1,2,0] + r(-2,1,0,0,0) + s(2,0,2, -1,1) e R5 | s, ř g IR}.
To je parametrický popis afinního podprostoru. Zaměření tohoto podprostoru je
Z{M) = {f(-2,1,0,0,0) + s(2,0,2, -1,1) g M5 | s, ř g M}5 což je řešení homogenní soustavy Ax = 0. Vidíme, že dim M = 2.
Jestliže množina řešení soustavy Ak = Ď je neprázdná, jde o afinní podprostor. Popis afinního podprostoru pomocí soustavy lineárních rovnic se nazývá implicitní nebo také obecný popis.
7. přednáška
Afinní geometrie
9/27
Hodnost matice a soustavy lineárních rovnic
Dimenze afinního podprostoru, který je množinou řešení soustavy lineárních rovnic, souvisí s hodností matice.
Nechť je A matice s k řádky a n sloupci, tj. každý sloupec je prvek Rk a každý řádek je prvek Rn. Následující tři celá čísla se rovnají
1) počet nenulových řádků po úpravě na schodovitý tvar,
2) maximální počet lineárně nezávislých řádků,
3) maximální počet lineárně nezávislých sloupců.
Jejich společnou hodnotu nazýváme hodností matice A a značíme h(/4).
• Soustava A • x = b má řešení právě tehdy, když hodnost matice A je rovna hodnosti rozšířené matice (A | £>), tj.
h(A) = h(A | b).
7. přednáška       Afinní geometrie
10/27
Hodnost matice - příklady I
a Pokud má soustava A • x = b řešení x e Rn, pak množina všech řešení je afinní podprostor dimenze
n-h(A).
Zaměření tohoto afinního podprostoru je množina řešení homogenní soustavy Ax = 0.
Příklady:
a Matice A tvaru 4 x 5 v příkladu na straně 9 má hodnost 3 a taje rovna hodnosti matice (A | b). Dimenze příslušného afinního podprostoru je 5 - h(A) = 5-3 = 2.
• Rovnice 3x1 + 7x2 - 2x3 = 9 je implicitním popisem roviny v A3. Příslušná matice je A = (3,7, -2). Její hodnost je 1. Dimenze afinního podprostoru, který popisuje, je 3-1 =2, což odpovídá tomu, že dimenze roviny je 2.
7. přednáška       Afinní geometrie
11/27
Hodnost matice - příklady II
o Soustava 2x1 - x2 + 3x3 = 1, x1 + 2x2 - x3 = 2 má matici
afinního podprostoru je 3 - 2 = 1, což odpovídá tomu, že jde o přímku v A3.
• Rovnice a-|X-| + a2x2 H-----h anxn = b s aspoň jedním
nenulovým koeficientem a, popisuje afinní podprostor v A dimenze n - h(a-i, a2,..., an) = n - 1. Nazýváme jej nadrovinou v IRn.
Přechod od implicitního (obecného) popisu afinního podprostoru soustavou Ax = b k parametrickému popisu je jednoduchý, stačí soustavu vyřešit. Příklad jsme si již ukázali na straně 9.
jejíž hodnost je 2. Dimenze příslušného
7. přednáška       Afinní geometrie
12/27
Od parametrického vyjádření k implicitnímu
Přechod od parametrického popisu k implicitnímu (obecnému) je také vždy možný. Ze soustavy rovnic, kde vystupují souřadnice x1, x2,..., xn a parametry ři, t2,..., fc, k < n, vypočteme z k rovnic parametry ř, a ty dosadíme do zbývajících rovnic. Ukážeme si to na příkladu.
Příklad
Nalezněte nějakou soustavu lineárních rovnic, jejíž řešení je
{[0,-1,2,0]+ f(-2,1,1,1) + s(2,2,-1,1) |s,feR}.
Parametrický popis v souřadnicích je
x1 = -2t + 2s x2 = -1 + ř + 2s x3 = 2 + ř - s xA = t + s
7. přednáška       Afinní geometrie
13/27
Od parametrického vyjádření k implicitnímu II
Z posledních dvou rovnic spočítáme
2í = x3 + x4-2 2s = x4 - x3 + 2
a dosadíme do prvních dvou rovnic. Druhou vynásobíme dvěma. Dostaneme
xÁ = -2x3 + 4 2x2 = -x3 + 3x4,
což dává soustavu Ax =
= b.
1   0  2   0 \   _ f 4 0  2  1   -3JX~ [o Všimněte si, že řádky matice A jsou lineárně nezávislé a kolmé k vektorům zaměření, které se vyskytují v parametrickém popisu. Dále, když maticí A vynásobíme souřadnicemi bodu [0, -1,2,0]7 dostaneme pravou stranu b. Toto platí obecně a můžeme to využi k nalezení nejdříve matice A a pak pravé strany b.
7. přednáška
Afinní geometrie
14/27
Průnik afinních podprostorů
Je-li průnik afinních podprostorů neprázdný, je opět afinním podprostorem. Metoda výpočtu průniku afinních podprostorů MajV závisí na vyjádření prostorů.
a Oba implicitně: ze 2 soustav vytvoříme jednu velkou soustavu.
• Jeden implicitně a druhý parametricky: dosadíme z parametrického vyjádření do soustavy.
• Oba parametricky: porovnáním parametrických vyjádření vznikne soustava pro parametry.
Ukážeme si řešení v druhém případě.
V A3 najděte průnik roviny a : 2x-| + 3x2 - x3 + 1 = 0 s rovinou p: X = [1,3,11 ] + ř(1,0,1) + s(0,1,2).
7. přednáška       Afinní geometrie
15/27
Príklad na průnik - dokončení
Parametrické vyjádření roviny p
X1 = 1 + ŕ, x2 = 3 + s, x3 = 11 + t + 2s
dosadíme do rovnice pro rovinu a.
2(1 + t) + 3(3 + s) - (11 + t + 2s) + 1 = 0.
Po úpravě t + s + 1 =0. Řešením jsou dvojice
(ŕ, s) = (a, -1 - a), kde a g M je parametr. Body průniku jsou
tedy ty body X z roviny a, které napíšeme pomocí parametrů
t = a a s = -1 - a:
X=[1J3,11] + a(1,0J1)-(a+1)(0J1J2) = [1,2,9] + a(1,-1,-1).
Tedy průnikem je přímka s parametrickým vyjádřením
[1,2,91 + 3(1,-1,-1)-
7. přednáška       Afinní geometrie
16/27
Afinní obal množiny a spojení afinních podprostorů
Afinní podprostor (M) v An generovaný neprázdnou množinou M je nejmenší afinní podprostor obsahující množinu M, je to průnik všech afinních podprostorů, které obsahují M.
Hovoříme také o afinním obalu množiny bodů M v An-Příklad: afinní obal dvou přímek A+tuaB + svse
směrovými vektory u, v je A + [u, v, AB\.
Pro dvojici afinních podprostorů M a J\f se afinnímu obalu množiny M u M říká spojení afinních podprostorů. Značíme MuM.
Pro M = A + Z(M), M = B + Z(N) pak platí MuN = A + Z(M) + Z(N) + [AĚ\. Jeho zaměření je součet tří vektorových podprostorů Z(M) + Z(J\Í) + [ÄŠ].
7. přednáška       Afinní geometrie
17/27
Vzájemná poloha afinních podprostorů
Mějme podprostory M&N . Pro jejich vzájemnou polohu jsou tyto možnosti:
O Jsou si rovny, pokud M n N ^ 0 a Z(M) = Z(N).
Q Jeden je podprostorem druhého, např. McAÍ, pokud MnAf ^ttaZ(M) cZ(4
O Podprostory jsou rovnoběžné, pokud A"í n A/V 0 a platí
buď Z(A4) c Z(j\0 nebo Z (N) c Z(A4).
O Podprostory jsou různoběžné, pokud A"í n A/V 0 a neplatí
ani Z(A4) c Z(AT) ani Z{N) c Z(A4).
O Podprostory jsou mimoběžné, pokud Aí n A/" = 0 a neplatí
ani Z(A4) c Z(AT) ani Z{N) c Z(A4)
Vzájemnou polohu umíme počítat, neboť všechny podmínky umíme prověřit - stačí určit M n A/" a Z(A4) n Z(A/")-
7. přednáška       Afinní geometrie
18/27
Příklad na vzájemnou polohu
Zjistěte vzájemnou polohu rovin tv a p v A*.
tt : X = [1,1,0,2]+ a(1,0,1,1)+ 6(1,0,0,1), p : x-| + x2 - x3 + x4 = 2,   x-| - x2 - x4 = 4.
Nejdříve zjistíme průnik tv n p. Bod průniku X = [x-i, x2, x3, x4]
má parametrické vyjádření bodu roviny tt
x-i = 1 + a + Ď, x2 = 1, x3 = a, x4 = 2 + a + b.
To dosadíme do rovnic pro p. Dostaneme
a + 2b + 4 = 2, -2 = 4. Je vidět, že soustava nemá řešení,
tedy průnik tt n p = 0.
Nyní najdeme průnik Z(7r) n Z(p).
Z(tt) : u = a(1,0,1,1) + fc(1,0,0,1), _Z(p) : x-i + Xp - x^ + x4 = 0,   Xi - Xp - x4 = 0.
7. přednáška       Afinní geometrie 19/27
Príklad na vzájemnou polohu - dokončení
Počítáme stejně jako v předchozím případě a pro parametry dostaneme rovnice a + 2b = 0, 0 = 0. Řešením jsou dvojice (a, b) = (2ř,-t). Průnik zaměření je proto
{2ř(1,0,1,1)-ř(1,0,0,1)} = [(1,9,2,1)].
Dimenze obou zaměření Z{tt) a Z(p) jsou 2, dimenze průniku je 1, tedy nenastane Z(tt) c Z(p) ani Z(p) c Z(7r). (V tomto případě, kdy se dimenze rovnají, je každá s inkluzí ekvivalentní rovnosti Z(ir) = Z(p).)
Závěr: Roviny 7r a p jsou mimoběžné.
7. přednáška       Afinní geometrie
20/27
Standardní příklady na afinní podprostory I
Příklad
Zjistěte, zda body [0,2,1], [-1,2,0], [-2,5,2] a [0,5,4] z A3 leží v jedné rovině.
o Libovolná dvojice zadaných bodů z afinního prostoru A3 určuje vektor. To, že čtyři body leží v rovině je ekvivalentní tomu, že jsou tři vektory, dané jedním vybraným bodem a vždy jedním ze tří zbylých, lineárně závislé.
9 Vybereme např. bod [0,2,1] (na výběru nezáleží), pak uvažujeme vektory [-1,2,0] - [0,2,1] = (-1,0,-1), [-2,5,2] -[0,2,1] = (-2,3,1), [0,5,4] -[0,2,1] = (0,3,3).
• Již známým výpočtem zjistíme, že vektory jsou lineárně závislé. Dané body leží tedy v rovině.
7. přednáška       Afinní geometrie
21/27
Standardní příklady na afinní podprostory II
Průnik a spojení afinních podprostorů je nástroj, který se často používá k řešení mnoha jiných příkladů.
Příklad
Najděte příčku dvou mimoběžných přímek
p: [1,1,1] + r(2,1,0),   q: [2,2,0] + r(1,1,1),
takovou, že přímka jí určená prochází bodem C = [1,0,0].
Příčkou rozumíme úsečku, jejíž jeden krajní bod leží na jedné z přímek, druhý krajní bod na druhé.
Označme A= [1,1,1]. Jeden krajní bod příčky Q e q najdeme jako průnik přímky q s rovinou p, která je spojením přímky p a bodu C. Ta má rovnici
A + r(2,1,0) + s • ÄÔ = [1,1,1 ] + ŕ(2,1,0) + s(0,1,1).
7. přednáška       Afinní geometrie
22/27
Příčka mimoběžek - dokončení
Průnikem je bod Q = [5,5,3] e q. Rovnice přímky CQ je
C + a- Cu =[1,0,0] + a(4,5,3). Její průnik s přímkou p je bod p = [7/3,5/3,1] g p, druhý krajní bod příčky.
7. přednáška       Afinní geometrie
23/27
Požadavky
• Přechod od implicitního popisu k parametrickému a obráceně.
• Výpočet průniku dvou afinních podprostoru. 9 Výpočet spojení dvou afinních podprostoru.
• Výpočet vzájemné polohy afinních podprostoru.
• Nalezení afinního podprostoru daných vlastností.
7. přednáška       Afinní geometrie
24/27
Domácí úloha
Příklad (7.1)
Najděte parametrický a obecný popis roviny v E4, která prochází body A = [1,0,1,0], B = [0,1,0,2] a C = [1,2,3,4].
Příklad (7.2)
Určete příčku mimoběžek
p:  [3,0,3] + ř.(0,1,2)
q:   [0,-1,-2] + s-(1,2,3),
která je rovnoběžná s vektorem v = (1, -2,1).
7. přednáška       Afinní geometrie
25/27
Domácí úloha
Příklad (7.3)
V prostoru M4 jsou dány tři body A= [1,2,3,6], B= [2,3,1,6] a C= [0,1,2,6], které generují afinní podprostor M. Dále A/" je afinní podprostor zadaný implicitně
*1 + *3   = 7
X2+X3-X4    =   2 .
Určete afinní podprostory M n Aí a M u Aí (včetně dimenzí)
7. přednáška       Afinní geometrie
26/27
Domácí úloha
Nechť v prostoru IR4 je podprostor M zadaný implicitně
+ x2 + x3 = 5 x2 - 2x3 + x4 = 0 x-i + 3x3 - x4  =  5 .
Určete vzájemnou polohu podprostoru M a přímky p dané takto:
a) p:[4,0,3,-2] + f. (1,-1,1,-1),
b) p : [1,1,1,1] + ř-(1,1,0,1),
C) p : [1,1,1,1] + ř-(1,-1, 0,1).
7. přednáška       Afinní geometrie
27/27