Afinní prostory
A+v
A+V={A+v | v \in V}
(A+v)+w=A+(v+w)
A+0=A
A+v=B takové v existuje jediné
v=B-A
v R^n:
A=[a_1,…,a_n]
v=(v_1,…,v_n)
A+v=[a_1+v_1,…,a_n+v_n]
V zaměření afinního prostoru
u,v , lin. kombinace au+bv
A,B , afinní kombinace aA+bB, a+b=1
A_1,…,A_n, af. Kombinace a_1A_1+...+a_nA_n, a_1+...+a_n=1
dimenze afinního prostoru = dimenze jeho zaměření
parametrický popis afinního prostoru:
A+p_1v_1+...p_nv_n
p v R^3: X=[2,3,-8]+t(4,1,5)
x_1=2+4t, x_2=3+t, x_3=-8+5t
implicitní/obecný popis:
( 2 4 1 5 -1 | 1 )
( 1 2 0 2 0 | 0 )
( 1 2 0 3 1 | 2 )
( 2 4 2 5 -3 | 0 )
( 1 2 0 2 0 | 0 )
( 0 0 1 1 -1| 1 )
( 0 0 0 1 1 | 2 )
( 0 0 0 0 0 | 0 )
Příklad 1: od obecného k parametrickému
x_5=t
x_4=2-t
x_3+2-t+t=1, x_3=-1
x_2=s
x_1+s+2(2-t)=0, x_1=-4+2t-s
X=[-4,0,-1,2,0]+t(2,0,0,-1,1)+s(-1,1,0,0,0)
Příklad: obráceně
X=[0,-1,2,0]+t(-2,1,1,1)+s(2,2,-1,1)
x_1=-2t+2s
x_2=-1+t+2s
x_3=2+t-s
x_4=t+s
x_3+x_4=2+2t
x_1-x_2=1-3t
2x_1-2x_2+3x_3+3x_4=8
t=x_3/2+x_4/2-1
s=…
2x_2+x_3-3x_4=0
Hodnost matice:
- počet nenulových řádků po (řádkové) úpravě na schodový tvar
- počet nenulových sloupců po (sloupcové) úpravě na %
- maximální počet lin. nezávislých řádků
- max. počet lin. nezáv. Sloupců
Ax=b má řešení právě tehdy když hodnost (A|b) má stejnou hodnost jako
A
Pokud je tato podmínka splněna, je dimenze řešení rovna rozdílu počtu
proměnných a hodnosti.
Průnik afinních prostorů:
1. parametrický a obecný: dosadíme param. Do obecného
2. oba obecně: sesypeme rovnice do jednoho systému
3. oba parametricky: X=A+tv, X=B+sw
A+tv=B+sw
tv-sw=B-A
Vzájemná poloha prostorů:
A,B afinní prostory
1) A=B
2) AcB nebo BcA (podmnožina), jeden podprostorem druhého
3) A,B různoběžné, A průnik B není prázdná, neplatí 1 ani 2
4) A,B rovnoběžné, A průnik B je prázdná, zaměření jednoho je
podprostorem zaměření druhého
5) A,B mimoběžné, A průnik B prázdná, ale neplatí 4