MB141, 5.6.2024, zkouška, skupina A
1.1 [> 1 správných, 1 bod] Nechť p je polynom stupně 5 s reálnými koeficienty. Vyberte všechny možnosti, kolik může mít p reálných kořenů, pokud započítáváme i násobnosti u vícenásobných kořenů.
□ 0        Dl        □ 2
□ 3        □ 4        □ 5
1.2 [> 1 správných, 1 bod] Vyberte všechny varianty parametrů a, 6, pro něž je matice
A =
invertibilní.
□ a = 1,6 = 1
□ a = -1,6 = 1
□ a = 0,6 = 1
□ a
□ a
□ a
1,6 = 0 0,6 = 0 -1,6 = 0
1.3 [3 body] Najděte všechny racionální kořeny polynomu
X
X
3x + 2.
2.2 [> 1 správných, 1 bod] Vyberte vlastní vektory 2.1 [> 1 správných, 1 bod] Určete,      pro vlastní číslo 2 matice které z bodů v IR2 se nachází na stejné / 2     ^ ^
straně přímky p : Ax — hy + 1 = 0 jako . _ / „     9 „
bod A = [2,2]. A~ \_x   _x 3
□ [3,2] D[5,4]
□ [-8,-6]       □ [13, li] □ (1,1,0)       □ (1,-1,0)    □ (0,1,1)
□ (0,1,-1)    □ (1,0,1)       □ (1,0,-1)
2.3 [3 body] V IR3 najděte vektor o velikosti 6 kolmý na vektory u = (1, 3, —2), v = (4,1, 3).
i
2
3.1 [> 1 správných, 1 bod] Najděte primi- 3.2 [1 správná, 1 bod] Najděte inverzi k prvku
tivní kořeny v modulu 7. 17 v modulu 36.
□ 1          D2          D3 Dli          D13          □ 17
□ 4          □ 5          □ 6 □ 19          □ 23          □ 29
3.3 [3 body] Určete zbytek po dělení čísla 999 číslem 13. (Připomínáme, že složené umocňování nesplňuje asociativní zákon a podle konvence se počítá „shora dolů".)
4.1 [1 správná, 1 bod] Z tabulky vyberte správného pivota pro eliminační krok simplexového algoritmu.
4.2 [> 1 správných, 1 bod] Rozhodněte, které z matic jsou stochastické (pravděpodobnostní).
	3		-4	5	200
□	-1	□	2	1	40
□	1	□	3	3	50
□	4	□	-2	-1	40
□
□
1/4 1/2
1/2 3/4
□
□
1/4 3/4
1/2 1/2
1/2 1/2
0
1
4.3 [3 body] Hejno krůt se skládá ze tří věkových kategorií odpovídajících sezónám: krůťat, mladých krůt a starých krůt. Kruť ata ještě nemívají potomstvo, mladé i staré krůty odchovají za sezónu průměrně dvě krůt'ata. V chovu nedochází k úhynům. Všechny staré krůty jdou na konci sezóny na porážku a všechny mladé krůty si chovatel ponechává. Určete, jakou část krůťat musí chovatel nabízet k prodeji, aby si chov udržel stabilní.
3
MB141,5.6.2024, zkouška, skupina B
1.1 [> 1 správných, 1 bod] Nechť p je polynom stupně 4 s reálnými koeficienty. Vyberte všechny možnosti, kolik může mít p reálných kořenů, pokud započítáváme i násobnosti u vícenásobných kořenů.
□ 0        Dl        □ 2
□ 3        □ 4        □ 5
1.2 [> 1 správných, 1 bod] Vyberte všechny varianty parametrů a, 6, pro něž je matice
A =
invertibilní.
□ a = 1,6 = 1
□ a = -1,6 = 1
□ a = 0,6 = 1
□ a
□ a
□ a
1,6 = 0 0,6 = 0 -1,6 = 0
1.3 [3 body] Najděte všechny racionální kořeny polynomu
2xĚ
x
3xó + 3x2 -5x + 2.
2.2 [> 1 správných, 1 bod] Vyberte vlastní vektory 2.1 [> 1 správných, 1 bod] Určete,      pro vlastní číslo 2 matice které z bodů v IR2 se nachází na stejné
straně přímky p : 5x — Ay — 1 = 0 jako . _
bod A = [2,2].
□ [2,3] D[4,5]
□ [-6,-8]       □[!!, 13] Q(1'1'°)       Q(1'-1'°) D(M,
□ (0,1,-1)    □ (1,0,1) 0(1,0,
2.3 [3 body] V IR3 najděte vektor o velikosti 6 kolmý na vektory u = (3, —2,1), v = (1, 3,4).
4
3.1 [> 1 správných, 1 bod] Najděte primi- 3.2 [1 správná, 1 bod] Najděte inverzi k prvku
tivní kořeny v modulu 7. 19 v modulu 36.
□ 1          D2          D3 Dli          D13          □ 17
□ 4          □ 5          □ 6 □ 19          □ 23          □ 29
3.3 [3 body] Určete zbytek po dělení čísla 999 číslem 13. (Připomínáme, že složené umocňování nesplňuje asociativní zákon a podle konvence se počítá „shora dolů".)
4.1 [1 správná, 1 bod] Z tabulky vyberte správ ného pivota pro eliminační krok simplexového al goritmu.
3      -4   5 1 200
□ -1  □ 2     1 30
□ 4    D-2  -1 40
□ 1    □ 3     3 50
4.3 [3 body] Hejno krůt se skládá ze tří věkových kategorií odpovídajících sezónám: krůťat, mladých krůt a starých krůt. Kruť ata ještě nemívají potomstvo, mladé i staré krůty odchovají za sezónu průměrně tři krůt'ata. V chovu nedochází k úhynům. Všechny staré krůty jdou na konci sezóny na porážku a všechny mladé krůty si chovatel ponechává. Určete, jakou část krůťat musí chovatel nabízet k prodeji, aby si chov udržel stabilní.
4.2 [> 1 správných, 1 bod] Rozhodněte, které z matic jsou stochastické (pravděpodobnostní).
□ ,'1    2\ A/2 3/4
0  -1J V1/4 1/2
□ ('1/2   l/4\        (0 1/2 1 1/2  3/4 i        l1 1/2
5
Řešení, skupina A
1.1 Případné ryze komplexní kořeny jsou komplexně sdruženy do párů, reálných kořenů tedy musí zbývat lichý počet, tj. 1,3, nebo 5.
1.2 V invertibilní matici musí být řádky nezávislé či determinant nenulový. To nastává ve všech případech, v nichž 6^0.
1.3 Racionální kořeny p/q musí vyhovovat kritériu p | 2 a q | 2. Zkoušíme tedy kandidáty z množiny {±1, ±2, ±1/2} a prověřujeme je např. Homérovým schématem. Vyhovují kořeny -1,2,1/2.
2.1 Zvolíme bod na přímce p, např. B = [1,1]. Následně určíme vzájemnou orientaci směrového vektoru (5,4) a vektoru AÉ ze znaménka determinantu | \ \ |. Obdobným způsobem místo A dosadíme testované body a zjišťujeme, zda vyjde stejné znaménko. Alternativní postup: Přímka p není rovnoběžná s osou y, lze ji tedy chápat i jako graf lineární funkce. Testované body a bod A můžeme dosazovat do rovnice přímky a posuzovat znaménka „výsledků".
2.2 Matice A — 2E má hodnost 1, tj. prostor řešení homogenní soustavy (A — 2E)v = 0 je dvourozměrný. Řešením jsou všechny vektory kolmé na vektor (1,1,-1), což jsou mj. 2., 3. a 5. vektor z nabídky.
2.3 Vektor w kolmý na u,v najdeme řešením homogenní soustavy = 0. Řešením je např. w = (1,-1,-1). Ovšem velikost vektoru je ||w|| = y/Š, musíme jej tedy ještě vynásobit koeficientem 6/y/Š = 2y/Š.
3.1 Pro primitivní kořen x musí platit xe = 1 (mod 7) a ne „dříve", speciálně stačí když x2 ^ 1 ai3 ^ 1. Tomu vyhovují jen zbytky 3 a 5.
3.2 Inverze je 17. Řešíme buďto pomocí Bezoutovy rovnosti, nebo si hledání zjednodušíme rozložením modulu 36 = 4 • 9.
3.3 Nejprve snížíme exponent využitím malé Fermatovy vety 912 = 1 (mod 13), tj. spočítáme 99 = • • • = 9 (mod 12) (i zde se dal modul rozložit 12 = 3-4 a snadno spočítat 99 = 0 (mod 3) a 99 = 1 (mod 4)). Následně už řešíme 999 = 99 = - • - = 1 (mod 13). Body byly strhávány za počítání exponentu v modulu 13 a zjednodušení úlohy na 99'9, což není totéž jako 999. (Obě tyto chybné úvahy dávaly náhodou správný výsledek.) Alternativní postup: K nelibosti autora vychází již 93 = 1 (mod 13), odkud zřejmě i 999 = 1.
4.1 Pivot se musí nacházet ve sloupci se záporným číslem v 0. řádku, sám musí být kladný a jeho poměr k pravému sloupci musí být maximální. Zde je to tedy hodnota 3.
4.2 Součet ve sloupcích musí být 1 a všechny vstupy matice musí být mezi 0 a 1. Vyhovují 2. a 4. matice.
4.3 Přechod od krůťat k mladým krůtám umenšíme o hledaný parametr p a stabilitu chovu vyjádříme vlastním číslem 1. Leslieho matice tedy je
L
0     2 2' 1 -p  0 0 0     1 0,
a o matici L — E předpokládáme, že je singulární (má nulový determinant). Tento požadavek je splněn pro p = 3/4. Úlohu bylo možné řešit i „selským rozumem", ale strhávali jsme body za nedostatečná zdůvodnění. Typickým nešvarem byl předpoklad stejného zastoupení věkových tříd v chovu.
6
Řešení, skupina B
1.1 Případné ryze komplexní kořeny jsou komplexně sdruženy do párů, reálných kořenů tedy musí zbývat sudý počet, tj. 0, 2, nebo 4.
1.2 V invertibilní matici musí být řádky nezávislé či determinant nenulový. To nastává ve všech případech, v nichž
1.3 Racionální kořeny p/q musí vyhovovat kritériu p | 2 a q | 2. Zkoušíme tedy kandidáty z množiny {±1, ±2, ±1/2} a prověřujeme je např. Homérovým schématem. Vyhovují kořeny 1,-2,1/2.
2.1 Zvolíme bod na přímce p, např. B = [1,1]. Následně určíme vzájemnou orientaci směrového vektoru (4, 5) a vektoru AÉ ze znaménka determinantu | \ \ \. Obdobným způsobem místo A dosadíme testované body a zjišťujeme, zda vyjde stejné znaménko. Alternativní postup: Přímka p není rovnoběžná s osou y, lze ji tedy chápat i jako graf lineární funkce. Testované body a bod A můžeme dosazovat do rovnice přímky a posuzovat znaménka „výsledků".
2.2 Matice A — 2E má hodnost 1, tj. prostor řešení homogenní soustavy (A — 2E)v = 0 je dvourozměrný. Řešením jsou všechny vektory kolmé na vektor (1, —1,1), což jsou mj. 1., 3. a 6. vektor z nabídky.
2.3 Vektor w kolmý na u,v najdeme řešením homogenní soustavy = 0. Řešením je např. w = (1,1,-1). Ovšem velikost vektoru je ||w|| = y/Š, musíme jej tedy ještě vynásobit koeficientem 6/y/Š = 2y/Š.
3.1 Pro primitivní kořen x musí platit xe = 1 (mod 7) a ne „dříve", speciálně stačí když x2 ^ 1 ai3 ^ 1. Tomu vyhovují jen zbytky 3 a 5.
3.2 Inverze je 19. Řešíme buďto pomocí Bezoutovy rovnosti, nebo si hledání zjednodušíme rozložením modulu 36 = 4 • 9.
3.3 Nejprve snížíme exponent využitím malé Fermatovy vety 912 = 1 (mod 13), tj. spočítáme 99 = • • • = 9 (mod 12) (i zde se dal modul rozložit 12 = 3-4 a snadno spočítat 99 = 0 (mod 3) a 99 = 1 (mod 4)). Následně už řešíme 999 = 99 = - • - = 1 (mod 13). Body byly strhávány za počítání exponentu v modulu 13 a zjednodušení úlohy na 99'9, což není totéž jako 999. (Obě tyto chybné úvahy dávaly náhodou správný výsledek.) Alternativní postup: K nelibosti autora vychází již 93 = 1 (mod 13), odkud zřejmě i 999 = 1.
4.1 Pivot se musí nacházet ve sloupci se záporným číslem v 0. řádku, sám musí být kladný a jeho poměr k pravému sloupci musí být maximální. Zde je to tedy hodnota 2.
4.2 Součet ve sloupcích musí být 1 a všechny vstupy matice musí být mezi 0 a 1. Vyhovují 3. a 4. matice.
4.3 Přechod od krůťat k mladým krůtám umenšíme o hledaný parametr p a stabilitu chovu vyjádříme vlastním číslem 1. Leslieho matice tedy je
/  0     3 3 L=    1-p  0 0 \  0 10
a o matici L — E předpokládáme, že je singulární (má nulový determinant). Tento požadavek je splněn pro p = 5/6. Úlohu bylo možné řešit i „selským rozumem", ale strhávali jsme body za nedostatečná zdůvodnění. Typickým nešvarem byl předpoklad stejného zastoupení věkových tříd v chovu.