MB141,12.6.2024, zkouška
1.1 [> 1 správných, 1 bod] Nechť A je matice soustavy. Je typu m x n, její hodnost je k a hodnost matice rozšířené je rovněž k. Vyberte všechna obecně platná tvrzení.
□ k < m  □ dimenze prostoru řešení je k
□ m < k  □ dimenze prostoru řešení je n — k
□ k < n   □ dimenze prostoru řešení je m — k
1.2 [> 1 správnych, 1 bod] Vyberte všechny varianty parametrů a, b, pro něž má matice
'1 0N a b
A
nulový determinant.
□ a = 1,6 = 1 □ a = 1,6 = 0
□ a = -l,6=l Da = 0,b = 0
□ a = 0,6=l Da = -1,6 = 0
1.3 [3 body] Najděte všechny racionální kořeny polynomu
3xó - llx2 + 8x + A.
2.2 [> 1 správných, 1 bod] Vyberte vlastní vektory
~ t        i      s   s i   i i   ii tt v , pro vlastní číslo—2 matice
2.1 [>  1 správných, 1 bod] Určete ť
obsah trojúhelníku ABC, kde A = f-1    1 -V
[-3,-11,5 = [5,4], C =[1,6]. A=Í0    -2 0
□ 9 □ 12       □ 18 V-1   _1 _1
□ 21       D36       D48 □ (1,1,0)       □ (1,-1,0) 0(0,1,1)
□ (0,1,-1)    □ (1,0,1)       □ (1,0,-1)
2.3 [3 body] V IR3 určete vzdálenost bodu A = [5, —5, —5] od roviny p : 2x — 3y — 2z = 1.
i
3.1 [> 1 správnych, 1 bod] Najděte primi-
tivní kořeny v modulu 9. 32 & sPráyná' 1 bod] NaJděte inyerzi k Pryku
17 v modulu 38.
□ 5 D9 □ 13
□ 17 D 27 D 33
3.3 [3 body] Určete zbytek po dělení čísla 1312345 číslem
□ 0	□ 1	□ 2
□ 3	□ 4	□ 5
□ 6	□ 7	□ 8
4.1 [1 správná, 1 bod] Určete dvoustý člen rr2oo 4.2 [> 1 správných, 1 bod] Rozhodněte, rekurentní posloupnosti které z matic jsou maticemi Leslieho po-
T     -   oT      iQ^^-nx-l pulačního modelu.
'\   —1 2N
□ I(3200 _ 2200) ^ I(2200 _ 3200) □ | 0      2 0
2 3
U-(!-*») D^-l) L\,2 1/4
1 i □   1/4  1/2    0       □ '
?200) □I(2200 □ ^(32°° - 1) U\{1 - 3200) ^ ^  T  3^4 y/   ^ VV2 0
4.3 [3 body] Redaktor rádia potřebuje vyplnit hodinu vysílacího času hudbou, vystoupením vtipného moderátora nebo čtením pohádky. Rádio musí pořád něco vysílat, aspoň 50% programu musí tvořit hudba a pohádka musí být aspoň desetiminutová. Náklady (tantiémy) za minutu vysílání jsou u hudby 200 Kč, u moderátora 100 Kč a u pohádky 150 Kč, zisk rádia za minutu vysílání je 300 Kč.
a) [1 bod] Formulujte příklad jako úlohu lineárního programování.
b) [2 body] Řešte úlohu užitím simplexového algoritmu. Určete optimální skladbu vysílání a celkový zisk.
3
Řešení
1.1 Hodnost matice je vždy menší nebo rovna každému rozměru matice a dimenze prostoru řešení je dána rozdílem počtu proměnných (tj. počtem sloupců) a hodnosti matice. Správné odpovědi jsou 1., 4. a 5.
1.2 Správnejšou všechny odpovědi, v nichž 6 = 0.
1.3 Racionální kořeny p/q musí vyhovovat kritériu p | 4 a q | 3. Zkoušíme tedy kandidáty z množiny {±1, ±2, ±4, ±1/3, ±2/3, ±4/3} a prověřujeme je např. Homérovým schématem. Po nalezení kořene 2 pokračujeme podílem polynomů odpovídajícímu vzniklému řádku Homérova schématu a zjistíme, že je dvojnásobný. Posledním kořenem je —1/3 a můžeme jej přímo vyčíst z lineárního polynomu.
2.1 Z bodů si připravíme dva vektory se společným počátkem, např. AÉ = (8, 5), AČ = (4, 7) a obsah určíme jako polovinu absolutní hodnoty determinantu 11 f | =36, tj. 18.
2.2 Matice A + 2E má hodnost 1, tj. prostor řešení homogenní soustavy (A + 2E)v = 0 je dvourozměrný. Řešením jsou všechny vektory kolmé na vektor (1,1,-1), což jsou mj. 2., 3. a 5. vektor z nabídky.
2.3 Najdeme patu kolmice B jako B = A + tn, kde n = (2, —3, —2) je normálový vektor roviny p. Požadavek B e p odpovídá rovnici (5 + 2t) + (-5 - 3í) + (-5 - 2t) = 1, odkud t = -2. Vzdálenost je tedy ||ŕn|| = |r| • ||n|| = 2\/l7.
3.1 Po vyloučení soudělných čísel 0,3,9 a zjevně neprimitivní 1 zjistíme, že 43 = 1,73 = 1, 82 = 1. Primitivními kořeny jsou tedy pouze 2 a 5.
3.2 Inverze je 9. Řešíme buďto pomocí Bezoutovy rovnosti, nebo si hledání zjednodušíme rozložením modulu 38 = 2 • 19.
3.3 Podle Eulerovy věty je 13^8) = 54 = 1 (mod 8). Protože 12345 = 1 (mod 4), vychází hledaný zbytek jako 51 = 5. Alternativní postup: Lze si též povšimnout, že liché mocniny 5 dávají zbytek 5 a sudé mocniny 1, výsledkem je tudíž 5.
4.1 Charakteristický polynom x2 + 2x — 3 má kořeny 1 a —3, dosazením do počátečních podmínek určíme koeficienty 1/4 a —1/4, což po úpravě odpovídá 6. možnosti.
4.2 Leslieho matice má v prvním řádku přírůstky potomstva a na zkrácené diagonále pod hlavní diagonálou pravděpodobnosti přežití do další generace. Z nabídky tomuto vyhovují pouze 2. a 4. matice.
4.3 Označme po řadě h,m,p minuty přidělené hudbě, moderátorovi a pohádce. Omezení a účelovou funkci upravíme do tvaru:
h, m, p > 0, h + m + p = 60,
m + p < 30, h + m < 50,
c = 100/i + 200m + 150p
Sestavíme simplexovou tabulku a postupně ji upravíme:
-100	-200	-150	0	0	0		0	0	0	100	50	8500
1	1	1	0	0	60		0	0	1	0	-1	10
0	1	1	1	0	30		0	1	0	1	1	20
1	1	0	0	1	50		1	0	0	-1	0	30
Jedničky v levé dolní části se objevily v roli pivotů, odečítáme z nich tedy řešení p = 10, m = 20, h = 30 při zisku 8500 Kč.'