MB141,12.6.2024, zkouška
1.1 [> 1 správných, 1 bod] Nechť
f{x) = anxn + an_xxa^x + ... + a^x + a0
je celočíselný polynom a p/q jeho racionální kořen. Předpokládáme, že p, g jsou nesoudělná. Vyberte všechna obecně platná tvrzení.
□ P | an Oq\an
□ p | <2i □ g | <2i
□ p | a0 n 9 I ao
1.2 [> 1 správných, 1 bod] Vyberte všechny (komplexní) kořeny polynomu
„3 _ •
X
Ui □ -i
,_, 1    \/3 ,_, \/3 1
□ - + —i □ — + -i 2     2 2 2
nl    V5 ,_,     \/3 1
□ - - —i □ - — + -i 2     2 2 2
1.3 [3 body] Spočítejte determinant matice
A
(l
1 1
V
2 2 2
4\ 0
0 0
o o
2.1 [> 1 správných, 1 bod] Z následujících vektorů v IR3 vyberte všechny patřící do roviny generované vektory (1, 2, 3), (4, 5,6).
□ (0,1,2) □ (1,1,1)
□ (3,2,1) □ (0,0,0)
□ (1,3,5) □ (1,2,4)
2.2 [> 1 správných, 1 bod] Vyberte vlastní vektory s příslušným vlastním číslem A symetrie prostoru IR3 zrcadlení podle roviny x — y = 0.
□ (1,1,0),A = -1   □ (1,-1,0),A =-1
□ (0,0,1), A = 0     □ (1,1,0), A = 1
□ (1,-1,0), A = 1   □ (0,0,1), A = 1
2.3 [3 body] Určete matici zobrazení / : IR3 —> IR2, které splňuje
/(1,-1,1) = (-3,0), /(1,2,-1) = (0,4), /(0,2,1) = (2,5).
i
3.1 [> 1 správných, 1 bod] Najdete primitivní kořeny v modulu 7.
□ 1 □ 2 □ 3
□ 4 D5 D6
3.3 [3 body] Určete zbytek po dělení čísla 13
3.2 [1 správná, 1 bod] Najdete inverzi k prvku 19 v modulu 33.
□ 7 Dli □ 15
□ 19 D23 D27
545 číslem 15.
4.1 [1 správná, 1 bod] Určete hodnotu účelové funkce v optimu úlohy lineárního programování s počáteční simplexovou tabulkou
-3  -2 -1	0 0	0
1 0 2 2 1 0	1 0 0 1	3 4
□ 11/2        □ 14/3        □ 17/4
□ 19/2        D21/4 D23/3
4.2 [> 1 správných, 1 bod] Rozhodněte, které z matic jsou maticemi Leslieho populačního modelu.
u(l -1)        n(° 2)
U\0    2J OJ
fl/2   1/4  0\       / 0     2 2\ □ I 1/4  1/2   1     □   1/2    0 0 \l/4  1/4  0/       \ 0    1/2 0/
4.3 [3 body] Markovský proces sestává ze tří stavů A, B, C. V každé iteraci systém mění stav a víme, že pravděpodobnost přechodu z Aáo B ]q 1/3, z 5 do C je l/2azC do A je 2/3.
a) [1 bod] Určete zbývající pravděpodobnosti a sestavte markovskou matici procesu.
b) [2 body] Určete pravděpodobnost, se kterou se systém po dostatečně dlouhém opakování bude nacházet ve stavu B.
3
Řešení
1.1 p I a0, q I an.
1.2 —i,       + |«, při výpočtu využíváme Moivreovu větu.
1.3 24, lze počítat mnoha způsoby, např. přeskládáním řádků nebo rovnou z definice.
2.1 Zadání splňují 1.-5. vektor. Řešíme např. sloupcovým přepisem do společného schématu a úpravou na schodový tvar.
2.2 Vektory (1,1, 0), (0, 0,1) leží v rovině, jsou tedy vlastní s vlastním číslem 1. Vektor (1,-1,0) je normálovým k rovině, jeho vlastní číslo je tedy — 1.
2.3 Úlohu řešíme přepisem vektorů o jejich obrazů do maticového schématu, úpravou levé části na jednotkovou matici a transponováním výsledku vpravo. Matice vyjde
3.1 Zjistíme, že l1 = 1, 23 = 1,43 = 1, 62 = 1 (mod 7). Primitivními kořeny jsou tedy pouze 3 a 5.
3.2 Inverze je 7. Řešíme buďto pomocí Bezoutovy rovnosti, nebo si hledání zjednodušíme rozložením modulu 33 = 3 • 11.
3.3 Podle Eulerovy věty je 13*(15) = (-2)8 = 1 (mod 15). Protože 12345 = 1 (mod 8), vychází hledaný zbytek jako (—2)1 = 13 (mod 15). (Dokonce platí (—2)4 = 1, a stačilo tak počítat jednodušeji s využitím 12345 = 1 (mod 4).)
4.1 Po třech úpravách dostáváme optimální tabulku s řešením (0,4,3/2) a hodnotou účelové funkce 19/2.
4.2 Leslieho matice má v prvním řádku přírůstky potomstva a na zkrácené diagonále pod hlavní diagonálou pravděpodobnosti přežití do další generace. Z nabídky tomuto vyhovují pouze 2. a 4. matice.
4.3 Protože se stav procesu vždy změní, má matice markovského procesu na hlavní diagonále 0. Zbylé pravděpodobnosti musí dávat se známými dohromady 1, dostaneme tak matici
/ 0    1/2 2/3\ M = J 1/3    0    1/3 . \2/3  1/2    0 /
Řešením homogenní soustavy (M — E)v = 0 je např. vektor v = (3, 2, 3), jehož normalizací (vydělením 3 + 2 + 3 = 8) dostaneme hledanou pravděpodobnost pro stav B rovnu 1/4.