MB141, 21.5.2024, zkouška
1.1  Najděte všechna řešení komplexní rovnice x2 = 2i. [> 1 správných, 1 bod]
□ x = Vž + iVž
Dx=l+i
□ x = 1 — i Dx = V2-i^ Ux = -l + i
□ x = — 1 — i
1.2 Nechť A je reálná čtvercová matice řádu n a det A její determinant. Vyberte všechna pravdivá tvrzení. [> 1 správných, 1 bod]
□ Pokud má A nulový řádek, pak det A = 0.
□ Pokud det A = 0, pak A má nulový řádek.
□ Pokud det A = 0, pak k A existuje inverzní matice.
□ Pokud det A = 0, pak lze A řádkovými úpravami převést na matici s nulovým řádkem.
□ Pokud má A některý prvek na hlavní diagonále nulový, pak det A = 0.
□ Matice A má stejný determinant jako matice k ní transponovaná.
1.3 [3 body] Najděte inverzní matici k matici
0
A
2.1 Vektor u patří do podprostoru generovaného vektory v, w. Vyberte pravdivá tvrzení. [> 1 správných, 1 bod]
□ Vektory u,v,w jsou lineárně nezávislé.
□ Matice sestavená z vektorů u, v, w má hodnost nejvýše dva.
□ Vektory u, v, w tvoří bázi nějakého podprostoru.
□ Vektor m je lineární kombinací vektorů v,w.
□ Nulový vektor je nenulovou lineární kombinací vektorů u, v, w.
□ Matice sestavená z vektorů u, v má menší hodnost než matice sestavená z vektorů u,v,w.
2.2 Uvažujme lineární zobrazení, jenž je zrcadlením prostoru IR3 podle roviny. Určete trojici jeho vlastních čísel. [1 správná, 1 bod]
□ 0,1,1.
□ -1,1,1.
□ -1,-1,1.
□ 0,0,1.
□ -1,0,1.
□ -1,-1,-1.
2.3 [3 body] Určete vzdálenost bodu A = [1, 2, —1] od přímky p : 2x — y + 2z = 7 \
i
3.1 Zaškrtněte všechny primitivní kořeny v modulu 5.
[> 1 správných, 1 bod]
□ 0
□ 1
□ 2
□ 3
□ 4
3.2 Nechť n = pq je modul, e veřejný klíč pro šifrování metodou RSA, d jeho inverze v modulu n a M zpráva, kterou chceme zašifrovat. Určete, které z čísel lze bezpečně zveřejnit. [> 1 správných, 1 bod]
Un Dp □ (j)(n) DMe Dd
DMed
3.3 [3 body] Určete zbytek po dělení čísla 77? číslem 11.
4.1 [1 správná, 1 bod] Leslieho populační model je dán maticí
/ 0     p 2N L = í 2/3    0 0 \ 0    2/3 0,
Vyberte hodnotu parametru p, pro kterou je populace stabilní.
□ 1 Dl/2 Dl/3
□ 1/6 □ 3 □ 6
4.2 [> 1 správných, 1 bod] Rozhodněte, které z matic jsou primitivní.
□
□
0 1 2 3
□
1 0
2 3
4.3 [3 body] Uvažujme markovský proces na stavech A, B, C. Systém přechází z A do B s prav-děpodoností 1/2 a do stavu C s pravděpodoností 1/4. Ze stavu B přechází vždy do stavu A. Ze stavu C přechází s pravděpodoností 1/4 do stavu A a s pravděpodobností 1/4 do stavu B.
a) [1 bod] Určete zbývající pravděpodobnosti přechodů a sestavte matici procesu M.
b) [2 body] Určete, s jakou pravděpodobností se po dostatečně dlouhé době systém nachází ve stavu C.
3
Řešení
1.1 1 + i, — 1 — i (lze řešit i pouhým vyzkoušením)
1.2 1., 4., 6. možnost
1.3 Úlohu řešíme eliminací schématu (A\E) ~ ... ~ (E\A~r), výsledkem je matice
-1/2  -1/2 l/2\ 1/2     1/2    1/2 . -1/2    1/2 1/2/
2.1 2., 4., 5. možnost 2.2-1,1,1
2.3 Rovina p má normálový vektor n = (2, —1,2), v jehož směru se vzdálenost realizuje. Hledáme tedy bod B, který leží v p a současně je tvaru A + tn. Dosazením do rovnice roviny spočítáme t = 1, a tedy vzdálenost je rovna velikosti n,tj. \\n\\ = y/A + 1 + 4 = 3. 3.1 0(5) = 4 má jediného maximálního dělitele 2, stačí tedy určit ta x, pro něž i2 ^ 1 a samozřejmě jsou s 5 nesoudělná. Tomu vyhovují jen 2 a 3. 3.2 n, Me, odstátní čísla zprávu snadno vyzradí — Med je přímo M, d dešifruje Me, z 4>(n) zjistíme d a z p zjistíme 4>(n). 3.3 Podle malé Fermato vy věty 710 = 1 (mod 11). Zjednodušíme tedy nejprve 77 v modulu 10. Ten můžeme rozložit 10 = 2 • 5 a spočítat samostatně 77 = 1 (mod 2) a 77 = 24+3 = 23 = 8 = 3 (mod 5) dalším užitím malé Fermatovy věty. Podle čínské zbytkové věty celkem máme 77 = 3 (mod 10), což dosadíme do původní úlohy. Dostáváme 77? = 73 = 343 = 2 (mod 11).
4.1 Pro správné p musí mít matice L vlastní číslo 1, neboli v L — E jsou závislé řádky. To nastává pro p = 1/6.
4.2 2. a 3. matice, ve zbylých po umocnění zůstává nula na stejné pozici.
4.3 Pravděpodobnosti neznámých přechodů zjistíme doplněním známých do jedničky, např A —> A bude 1 — \ — | = \. Přechod B —> A je jistý jev, má tedy pravděpodobnost 1 a zbylé přechody z B musí být 0. Matice je pak
A/4  1 l/4\ M =    1/2  0   1/4 . \l/4  0 1/2/
Dále potřebujeme najít vlastní vektor v pro vlastní číslo 1, tj. řešit homogenní soustavu (M — £')« = 0. Tím je např. vektor v = (8,5,4). Jeho normalizací dostaneme pravděpodobnostní vektor j^v = (^,^,^), tedy hledaná pravděpodobnost pro stav C je ^.