MB141, 28.5.2024, zkouška, skupina A
1.1 [1 správná, 1 bod] Najděte inverzní (převrácené) komplexní číslo k číslu y/Š + i.
□ y/3 ■
1
V3 1
2
□ V3 _ 1
4 4
nVš + i
□ ^/l _L 1
^ 2
2
4ř
1.2 [> 1 správných, 1 bod] Nechť
/ 0     a ŕ A= I  1    -1 -\-2    3 '
Z variant vyberte ty, pro něž det A = 0.
□ a = 2,6 = 1 □ a = -1,6 = 1
□ a = 0,6 = 2 Da = -1,6 = 0
□ a = 2,6 = 0 Da = 0,6 = -1
1.3 [3 body] Najděte nějaké celočíselné řešení x, y rovnice
234x + 345y = 3
2.1 [1 správná, 1 bod] Určete odchylku 2.2 [> 1 správných, 1 bod] Nechť A je matice line-vektorů u = (1,2,3),?; = (—2,3,1) ární transformace /: V —?■ V vektorového prostoru v IR3. V, A vlastní číslo a v příslušný vlastní vektor.
□ 0 Dn/Q nf(v) = Xv, n\f(v)=v,
□ tt/4 Dn/3 DAv = \v, □ det (A - \E) = 1,
□ tt/2 D2n/3 Dv^O, □ (A - \E)v = 0.
2.3 [3 body] Určete matici lineárního zobrazení / : IR3 —> IR3, o němž je známo:
/(0,1,-1) = (3,1,1), /(1,1,1) = (0,3,0), /(2,0,1) = (0,1,-2).
i
2
3.1 [1 správná, 1 bod] Určete hod- 3.2 [> 1 správných, 1 bod] Nechť n je modul, g pri-notu Eulerovy funkce 0 v n = 240.        mitivní kořen a a, b soukromé klíče komunikujících
stran. Určete, které z parametrů lze zveřejnit:
□ 180     □ 120     □ 80 D 9 Un u9a
□ 64       D48       D36 O gb □ gab □ ab
3.3 [3 body] Řešte soustavu kongruencí (a zapište výsledek v obecném tvaru).
x = 2 (mod 12) x = 8   (mod 10)
4.2 [> 1 správných, 1 bod] Rozhodněte, 4.1 [1 správná, 1 bod] Určete stý člen rekurentní které z matic jsou stochastické (pravděpo-posloupnosti xn+2 = 5xn+1-6xn,x0 = l,Xl = 1. dobnostní).
Dli   2,\      nA/3 1/2
□ 1 +	3100	□ _ 3IOI + 299
□ 2101	_3ioo	□ 2" - 1
□ 3ioo	_2ioo	□ 2100 - 3101
0  -lj V1/2 2/3
0 l/2\ [1/2 1/3
1 1/2J \l/2 2/3
4.3 [3 body] Truhlářství vyrábí stoly, židle a poličky. Na výrobu jednoho stolu potřebuje 3 hodiny, jedné židle 2 hodiny a jedné poličky 1 hodinu. Výrobní kapacita truhlářství je 60 hodin a celkově lze vyrobit nejvýše 40 výrobků. Poliček se vyrobí nejvýše tolik, kolik se dohromady vyrobí stolů a židlí. Zisk z jedoho stolu je 1000 Kč, z jedné židle 800 Kč a z jedné poličky 600 Kč.
a) [1 bod] Zformulujte příklad jako úlohu lineárního programování.
b) [2 body] Užitím simplexového algoritmu určete optimální skladbu výroby a celkový zisk.
3
MB141, 28.5.2024, zkouška, skupina B
1.1 [1 správná, 1 bod] Najděte inverzní (převrácené) komplexní číslo k číslu y/2 — y/2i.
DV2-V2Í
n Vž _ V2 ■
4 4 b
□
2    ' 2
□ v^I +
4 4
1.2 [> 1 správných, 1 bod] Nechť
/O     a l A=     1    -2 -\-2   4 í
Z variant vyberte ty, pro něž det A = 0.
□ a = 2,6 = 1 □ a =
□ a = 0,6 = 2 □ a =
□ a = 2,6 = 0 □ a =
-1,6 = 1 -1,6 = 0 0,6 = -1
1.3 [3 body] Najděte nějaké celočíselné řešení x, y rovnice
123x + 345y = 3
2.1 [1 správná, 1 bod] Určete odchylku 2.2 [> 1 správných, 1 bod] Nechť A je matice line-vektorů u = (1,2,3),?; = (2, —3, —1) ární transformace / : V —?■ V vektorového prostoru v IR3. V, A vlastní číslo a v příslušný vlastní vektor.
□ 0 Dn/Q nf(v) = Xv,      n\f(v) = v,
□ tt/4 Dn/3 DAv = \v,        □ det (A - \E) = -1,
□ tt/2 D2n/3 Dv = 0, □ (A - \E)v = 0.
2.3 [3 body] Určete matici lineárního zobrazení / : IR3 —> IR3, o němž je známo:
/(1,-1,0) = (1,1,3), /(1,1,1) = (3,0,0), /(0,1,2) = (1,-2,0).
4
3.1 [1 správná, 1 bod] Určete hod- 3.2 [> 1 správných, 1 bod] Nechť n je modul, g pri-notu Eulerovy funkce 0 v n = 300.        mitivní kořen a a, b soukromé klíče komunikujících
stran. Určete, které z parametrů lze zveřejnit:
□ 180     □ 120     □ 80 D 9 Un u9a
□ 64       D48       D36 O gb □ gab □ ab
3.3 [3 body] Řešte soustavu kongruencí (a zapište výsledek v obecném tvaru).
x = 8 (mod 12) x = 2   (mod 10)
4.2 [> 1 správných, 1 bod] Rozhodněte, 4.1 [1 správná, 1 bod] Určete stý člen rekurentní které z matic jsou stochastické (pravděpo-posloupnosti xn+2 = 5xn+1-6xn, x0 = 0,Xl = 1. dobnostní).
n('0   l/2\      nA/2 1/3
□ 1 +	3100	□ _ 3IOI + 299
□ 2101	_3ioo	□ 2" - 1
□ 3ioo	_2ioo	□ 2100 - 3101
1 1/2y      V1/2 2/3
1    2\ A/3 1/2
0-lJ V1/2 2/3
4.3 [3 body] Truhlářství vyrábí stoly, židle a poličky. Na výrobu jednoho stolu potřebuje 3 hodiny, jedné židle 2 hodiny a jedné poličky 1 hodinu. Výrobní kapacita truhlářství je 60 hodin a celkově lze vyrobit nejvýše 40 výrobků. Poliček se vyrobí nejvýše tolik, kolik se dohromady vyrobí stolů a židlí. Zisk z jedoho stolu je 1000 Kč, z jedné židle 800 Kč a z jedné poličky 600 Kč.
a) [1 bod] Zformulujte příklad jako úlohu lineárního programování.
b) [2 body] Užitím simplexového algoritmu určete optimální skladbu výroby a celkový zisk.
5
Řešení, skupina A
11 ^ - H
±'±   4 4t
1.2 Úloha se nejsnáze řeší Laplaceovým rozvojem podle prvního řádku. Determinant doplňku kaje nulový, k b je to jednička. Odtud plyne, že a může být jakékoli a b musí být nula. Vybereme tedy 4. a 5. možnost.
1.3 V úloze jde o nalezení koeficientů do Bezoutovy rovnosti, které umíme spočítat rozšířeným Eukleidovým algoritmem. Výsledek x = —28, y = 19.
2.1 Odchylku 0 určíme ze vzorce
(u,v) 7 1
u\\\\v\\     JTÄ-JTÄ 2
cos <p-tedy (f) = 7r/3.
2.2 Pravdivejšou 1., 3., 5. a 6. odpověď.
2.3 Vektory a jejich obrazy přepíšeme řádkově do maticového schématu, úpravou levé části na jednotkovou matici zjistíme obrazy prvků standardní báze a transpozice pravé části je tak již hledanou maticí zobrazení:
3.1 Využijeme rozkladu 240 = 24 • 3 • 5. Odtud 0(240) = 23 • 2 • 4 = 64.
3.2 Zveřejnit můžeme n, g, ga, gb. Určitě nezveřejníme gab, což je společný soukromý šifrovací klíč, ani ab, ze kterého bychom jej spolu se znalostí g snadno určili.
3.3 Nejprve rozložíme moduly a soustavu převedeme na eklivalentní, jež už splňuje předpoklady čínské zbytkové věty:
x = 2 (mod 4) x = 2 (mod 3) x = 3   (mod 5)
První dvě kongruence můžeme nechat sloučené x = 2 (mod 12). Úlohu dořešíme dosazením x = 12a + 2 do třetí kongruence (nebo vyzkoušením kandidátů 2,14, 26, 38, 50). Řešení je jednoznačné až na násobek nejmenšího společného násobku modulů, tj. 60. Výsledek je tedy nutné uvést ve tvaru x = 38 (mod 60).
4.1 Charakteristický polynom posloupnosti x2 — 5x + 6 má kořeny 2, 3, obecné řešení tedy hledáme ve tvaru xn = a2n + b3n. Dosazením počátečních podmínek pro n = 0,1 dostaneme soustavu rovnic pro a, b, jejíž řešení je a = 2, b = —1. Stým členem posloupnosti je tedy 3. možnost.
4.2 Stochastická matice musí mít ve všech buňkách pravděpodobnosti, tj. čísla mezi 0 a 1, a součet v každém sloupci musí být 1. Požadavku vyhovují 3. a 4. matice.
6
4.3 a)
3s + 2^ + p < 60 s + z + p < 40, —s — z + p < 0,
lOOOs + 800^ + 600p = c
b) Při zvoleném pořadí neznámých vybíráme v tabulce simplexového algoritmu dvakrát pivota z omezení 3s + 2z + p < 60 a jednou z omezení s + z + p < 40. Nalezeným optimem je výroba 20 židlí a 20 poliček (a žádného stolu), což generuje zisk 28 000 Kč.
Řešení, skupina B
1.1 f + ^i
1.2 Úloha se nejsnáze řeší Laplaceovým rozvojem podle prvního řádku. Determinant doplňku k b je nulový, k a je to jednička. Odtud plyne, že b může být jakékoli a a musí být nula. Vybereme tedy 3. a 6. možnost.
1.3 V úloze jde o nalezení koeficientů do Bezoutovy rovnosti, které umíme spočítat rozšířeným Eukleidovým algoritmem. Výsledek x = —14, y = 5.
2.1 Odchylku 0 určíme ze vzorce
(u,v) -7 1
u\\\\v\\       y/TÄ-VTÄ 2
cos <p-tedy 0 = 2tt/3.
2.2 Pravdivejšou 1., 3. a 6. odpověď.
2.3 Vektory a jejich obrazy přepíšeme řádkově do maticového schématu, úpravou levé části na jednotkovou matici zjistíme obrazy prvků standardní báze a transpozice pravé části je tak již hledanou maticí zobrazení:
-1  0   |   1    1    3\ /l  0  0   | 2
1 1 I 3 0 0 ~ ••• ~ I 0 1 0 j 1 12   11-20/ V 0  0   1   I 0
A =
3.1 Využijeme rozkladu 300 = 22 • 3 • 52. Odtud 0(300) = 2 • 2 • 4 • 5 = 80.
3.2 Zveřejnit můžeme n, g, ga, gb. Určitě nezveřejníme gab, což je společný soukromý šifrovací klíč, ani ab, ze kterého bychom jej spolu se znalostí g snadno určili.
3.3 Nejprve rozložíme moduly a soustavu převedeme na eklivalentní, jež už splňuje předpoklady čínské zbytkové věty:
x = 0 (mod 4) x = 2 (mod 3) x = 2   (mod 5)
7
Druhé dvě kongruence rovnou sloučíme do x = 2 (mod 15). Úlohu dořešíme dosazením x = 15a+2 do první kongruence (nebo vyzkoušením kandidátů 2,17,32,47). Řešení je jednoznačné až na násobek nejmenšího společného násobku modulů, tj. 60. Výsledek je tedy nutné uvést ve tvaru x = 32 (mod 60).
4.1 Charakteristický polynom posloupnosti x2 — 5x + 6 má kořeny 2, 3, obecné řešení tedy hledáme ve tvaru xn = a2n + b3n. Dosazením počátečních podmínek pro n = 0,1 dostaneme soustavu rovnic pro a, b, jejíž řešení je a = —l,b = 1. Stým členem posloupnosti je tedy 5. možnost.
4.2 Stochastická matice musí mít ve všech buňkách pravděpodobnosti, tj. čísla mezi 0 a 1, a součet v každém sloupci musí být 1. Požadavku vyhovují 1. a 2. matice.
4.3 a)
3s + 2z + p < 60
s + z + p < 40,
—s — z + p < 0,
s,z,p > 0,
lOOOs + 800^ + 600p = c
b) Při zvoleném pořadí neznámých vybíráme v tabulce simplexového algoritmu dvakrát pivota z omezení 3s + 2z + p < 60 a jednou z omezení s + z + p < 40. Nalezeným optimem je výroba 20 židlí a 20 poliček (a žádného stolu), což generuje zisk 28 000 Kč.