Homomorfismy grup
Jan Paseka
Masarykova univerzita Brno
Homomorfismy grup ­ p.1/23

Abstrakt
V této kapitole se budeme zabývat studiem
vzájemných vztahů mezi grupami.
Homomorfismy grup ­ p.2/23

Abstrakt
V této kapitole se budeme zabývat studiem
vzájemných vztahů mezi grupami.
K tomu účelu budeme používat zobrazení mezi
těmito grupami, která budou "přenášet strukturu
grupy" - homomorfismus grup.
Homomorfismy grup ­ p.2/23

Abstrakt
V této kapitole se budeme zabývat studiem
vzájemných vztahů mezi grupami.
K tomu účelu budeme používat zobrazení mezi
těmito grupami, která budou "přenášet strukturu
grupy" - homomorfismus grup.
Ukážeme, že každou podgrupu lze vnořit do
vhodné grupy permutací. Prozkoumáme vztah
mezi počty prvků grupy a její podgrupy.
Homomorfismy grup ­ p.2/23

Obsah přednášky
Homomorfismus grup. Podgrupa.
Homomorfní obraz grupy.
Vnoření. Izomorfismus grup.
Cayleyho věta.
Homomorfismy grup ­ p.3/23

Obsah přednášky
Homomorfismus grup. Podgrupa.
Homomorfní obraz grupy.
Vnoření. Izomorfismus grup.
Cayleyho věta.
Levé třídy podle podgrupy.
Vlastnosti levých tříd.
Ř ád grupy a index podgrupy, Lagrangeova
věta.
Stabilizátor a orbita
Homomorfismy grup ­ p.3/23

Homomorfismus grupy
Definice.Necht' (G, ) a (H, ) jsou dvě grupy a
necht' f : G  H je zobrazení.
Homomorfismy grup ­ p.4/23

Homomorfismus grupy
Definice.Necht' (G, ) a (H, ) jsou dvě grupy a
necht' f : G  H je zobrazení.
Ř ekneme, že f je homomorfismus grupy (G, )
do grupy (H, ), je-li splněna podmínka
(a, b  G)(f(a  b) = f(a)  f(b)).
Homomorfismy grup ­ p.4/23

Homomorfismus grupy
Definice.Necht' (G, ) a (H, ) jsou dvě grupy a
necht' f : G  H je zobrazení.
Ř ekneme, že f je homomorfismus grupy (G, )
do grupy (H, ), je-li splněna podmínka
(a, b  G)(f(a  b) = f(a)  f(b)).
Je ­ li zobrazení f navíc injektivní, pak se nazývá
vnoření, resp. je ­ li zobrazení f navíc bijektivní,
pak se nazývá izomorfismus .
Homomorfismy grup ­ p.4/23

Příklady I
Příklad.
1. Necht' (G, ) je libovolná grupa. Pak identické
zobrazení idG : G - G je vždy
homomorfismus, který je navíc vždy
izomorfismem.
Homomorfismy grup ­ p.5/23

Příklady II
2. Necht' (G, ) a (H, ) jsou dvě grupy, e
neutrální prvek H . Potom zobrazení
f : G - H , definované :
f (x) = e pro každé x  G
je homomorfismus. Tento homomorfismus je
vnořením, právě když množina G je
jednoprvková, resp. je izomorfismem právě
když obě množiny G, H jsou jednoprvkové.
Homomorfismy grup ­ p.6/23

Příklady III
3. Vezměme libovolné číslo n  N a uvažme
zobrazení h : Z  Zn dané pro každé a  Z
předpisem h(a) = [a]n.
Homomorfismy grup ­ p.7/23

Příklady III
3. Vezměme libovolné číslo n  N a uvažme
zobrazení h : Z  Zn dané pro každé a  Z
předpisem h(a) = [a]n.
Pak zobrazení h je homomorfismus grupy
(Z, +) do grupy (Zn, +), nebot' pro libovolná
a, b  Z máme [a + b]n = [a]n + [b]n.
Homomorfismy grup ­ p.7/23

Příklady III
3. Vezměme libovolné číslo n  N a uvažme
zobrazení h : Z  Zn dané pro každé a  Z
předpisem h(a) = [a]n.
Pak zobrazení h je homomorfismus grupy
(Z, +) do grupy (Zn, +), nebot' pro libovolná
a, b  Z máme [a + b]n = [a]n + [b]n.
Tento surjektivní homomorfismus není
vnoření a není izomorfismus.
Homomorfismy grup ­ p.7/23

Příklady IV
4. Necht' n  N je libovolné číslo. Pro kterékoliv
dvě permutace ,   Sn platí rovnost
(  ) = ()().
Homomorfismy grup ­ p.8/23

Příklady IV
4. Necht' n  N je libovolné číslo. Pro kterékoliv
dvě permutace ,   Sn platí rovnost
(  ) = ()().
Tedy zobrazení  : Sn  Q - {0} přiřazující
každé permutaci   Sn její paritu () je
homomorfismus grupy (Sn, ) do grupy
(Q - {0}, ).
Homomorfismy grup ­ p.8/23

Příklady IV
4. Necht' n  N je libovolné číslo. Pro kterékoliv
dvě permutace ,   Sn platí rovnost
(  ) = ()().
Tedy zobrazení  : Sn  Q - {0} přiřazující
každé permutaci   Sn její paritu () je
homomorfismus grupy (Sn, ) do grupy
(Q - {0}, ).
Tento homomorfismus není vnoření (pro
n  3), není surjektivní a není izomorfismus.
Homomorfismy grup ­ p.8/23

Zachovávání operací a skládání
Tvrzení. Jsou-li (G, ), resp. (H, ) grupy mající jednotkové
prvky 1, resp. 11 a je-li f : G  H homomorfismus grupy
(G, ) do grupy (H, ), pak jsou rovněž splněny podmínky
f(1) = 11 a (a  G)(f(a-1
) = f(a)-1
).
Homomorfismy grup ­ p.9/23

Zachovávání operací a skládání
Tvrzení. Jsou-li (G, ), resp. (H, ) grupy mající jednotkové
prvky 1, resp. 11 a je-li f : G  H homomorfismus grupy
(G, ) do grupy (H, ), pak jsou rovněž splněny podmínky
f(1) = 11 a (a  G)(f(a-1
) = f(a)-1
).
Tvrzení. Necht' (G, ), (H, ) a (K, ˇ) jsou grupy a necht'
f : G  H, resp. g : H  K jsou homomorfismy grupy
(G, ) do grupy (H, ), resp. grupy (H, ) do grupy (K, ˇ).
Pak složené zobrazení g  f : G  K je homomorfismus
grupy (G, ) do grupy (K, ˇ).
Homomorfismy grup ­ p.9/23

Podgrupy
Necht' (G, ) je grupa a necht' neprázdná
podmnožina H  G je uzavřená vzhledem k
operaci  tak, že (H, ) je sama grupou.
Homomorfismy grup ­ p.10/23

Podgrupy
Necht' (G, ) je grupa a necht' neprázdná
podmnožina H  G je uzavřená vzhledem k
operaci  tak, že (H, ) je sama grupou.
Potom (H, ) se nazývá podgrupa grupy (G, ) .
Homomorfismy grup ­ p.10/23

Podgrupy
Necht' (G, ) je grupa a necht' neprázdná
podmnožina H  G je uzavřená vzhledem k
operaci  tak, že (H, ) je sama grupou.
Potom (H, ) se nazývá podgrupa grupy (G, ) .
Věta. Necht' (H, ) je podgrupa grupy (G, ) . Pak
1. jednička podgrupy (H, ) je totožná s
jedničkou grupy (G, )
2. inverzní prvek k prvku h  H v podgrupě
(H, ) je totožný s inverzním prvkem k prvku
h v grupě (G, ) .
Homomorfismy grup ­ p.10/23

Příklady V
5. Grupa (Z2, +) má dva prvky, totiž třídy [0]2 a
[1]2. Množina čísel {-1, 1} je zřejmě
podgrupou grupy (Q - {0}, ).
Homomorfismy grup ­ p.11/23

Příklady V
5. Grupa (Z2, +) má dva prvky, totiž třídy [0]2 a
[1]2. Množina čísel {-1, 1} je zřejmě
podgrupou grupy (Q - {0}, ).
Lze se přesvědčit, že zobrazení množiny Z2
na množinu {-1, 1} přiřazující třídě [0]2 číslo
1 a třídě [1]2 číslo -1 je izomorfismus grupy
(Z2, +) na grupu ({-1, 1}, ).
Homomorfismy grup ­ p.11/23

Příklady VI
6. Zobrazení log : R+
 R přiřazující každému
kladnému reálnému číslu x jeho přirozený
logaritmus log(x) je bijekcí množiny R+
všech kladných reálných čísel na množinu R
všech reálných čísel.
Homomorfismy grup ­ p.12/23

Příklady VI
6. Zobrazení log : R+
 R přiřazující každému
kladnému reálnému číslu x jeho přirozený
logaritmus log(x) je bijekcí množiny R+
všech kladných reálných čísel na množinu R
všech reálných čísel.
log je izomorfismus grupy (R+
, ) na grupu
(R, +), nebot' pro libovolná kladná reálná
čísla x, y platí log(x  y) = log(x) + log(y).
Homomorfismy grup ­ p.12/23

Homomorfní obraz grupy
Tvrzení. Necht' (G, ) a (H, ) jsou grupy a necht'
f : G  H je homomorfismus grupy (G, ) do
grupy (H, ). Potom obraz f(G) = {f(a) | a  G}
při tomto homomorfismu je podgrupa grupy
(H, ).
Homomorfismy grup ­ p.13/23

Homomorfní obraz grupy
Tvrzení. Necht' (G, ) a (H, ) jsou grupy a necht'
f : G  H je homomorfismus grupy (G, ) do
grupy (H, ). Potom obraz f(G) = {f(a) | a  G}
při tomto homomorfismu je podgrupa grupy
(H, ).
Tvrzení. Jsou-li (G, ) a (H, ) grupy a je-li
f : G  H izomorfismus těchto grup, pak také
inverzní zobrazení f-1
: H  G je izomorfismem
těchto grup.
Homomorfismy grup ­ p.13/23

Shrnutí
Necht' znovu (G, ) a (H, ) jsou grupy a necht'
f : G  H je homomorfismus grupy (G, ) do
grupy (H, ).
Homomorfismy grup ­ p.14/23

Shrnutí
Necht' znovu (G, ) a (H, ) jsou grupy a necht'
f : G  H je homomorfismus grupy (G, ) do
grupy (H, ).
Obraz f(G) při tomto homomorfismu je podgrupa
grupy (H, ) tj. (f(G), ) je sama grupou.
Homomorfismy grup ­ p.14/23

Shrnutí
Necht' znovu (G, ) a (H, ) jsou grupy a necht'
f : G  H je homomorfismus grupy (G, ) do
grupy (H, ).
Obraz f(G) při tomto homomorfismu je podgrupa
grupy (H, ) tj. (f(G), ) je sama grupou.
Je-li navíc zobrazení f prosté, pak lze toto
zobrazení chápat jako bijekci množiny G na
množinu f(G).
Homomorfismy grup ­ p.14/23

Shrnutí
Necht' znovu (G, ) a (H, ) jsou grupy a necht'
f : G  H je homomorfismus grupy (G, ) do
grupy (H, ).
Obraz f(G) při tomto homomorfismu je podgrupa
grupy (H, ) tj. (f(G), ) je sama grupou.
Je-li navíc zobrazení f prosté, pak lze toto
zobrazení chápat jako bijekci množiny G na
množinu f(G).
Jde tedy o izomorfismus grupy (G, ) na grupu
(f(G), ), jež je podgrupou grupy (H, ).
Homomorfismy grup ­ p.14/23

Cayleyho věta
Věta. Každá grupa (G, ) je izomorfní některé
podgrupě grupy permutací (S(X), ) pro nějakou
množinu X. Je-li uvedená grupa konečná, může
být množina X také konečná.
Homomorfismy grup ­ p.15/23

Cayleyho věta
Věta. Každá grupa (G, ) je izomorfní některé
podgrupě grupy permutací (S(X), ) pro nějakou
množinu X. Je-li uvedená grupa konečná, může
být množina X také konečná.
Nástin důkazu: Pro a  G definujeme zobrazení
a : G  G jako a(g) = a  g pro g  G.
Homomorfismy grup ­ p.15/23

Cayleyho věta
Věta. Každá grupa (G, ) je izomorfní některé
podgrupě grupy permutací (S(X), ) pro nějakou
množinu X. Je-li uvedená grupa konečná, může
být množina X také konečná.
Nástin důkazu: Pro a  G definujeme zobrazení
a : G  G jako a(g) = a  g pro g  G.
Zobrazení a je permutace množiny G.
Homomorfismy grup ­ p.15/23

Cayleyho věta
Věta. Každá grupa (G, ) je izomorfní některé
podgrupě grupy permutací (S(X), ) pro nějakou
množinu X. Je-li uvedená grupa konečná, může
být množina X také konečná.
Nástin důkazu: Pro a  G definujeme zobrazení
a : G  G jako a(g) = a  g pro g  G.
Zobrazení a je permutace množiny G.
Zobrazení  : G  S(G)
určené vztahem (a) = a, a  G je hledané
vnoření.
Homomorfismy grup ­ p.15/23

Levé třídy podle podgrupy
Bud' (G, ) grupa a H  G její podgrupa. Pro
libovolný prvek a  G uvažujme množinu
aH = {a  h | h  H}.
Homomorfismy grup ­ p.16/23

Levé třídy podle podgrupy
Bud' (G, ) grupa a H  G její podgrupa. Pro
libovolný prvek a  G uvažujme množinu
aH = {a  h | h  H}.
Tato množina aH se nazývá levá třída grupy
(G, ) podle podgrupy H (určená prvkem a).
Homomorfismy grup ­ p.16/23

Levé třídy podle podgrupy
Bud' (G, ) grupa a H  G její podgrupa. Pro
libovolný prvek a  G uvažujme množinu
aH = {a  h | h  H}.
Tato množina aH se nazývá levá třída grupy
(G, ) podle podgrupy H (určená prvkem a).
Označme
G/H = {aH | a  G}
množinu všech levých tříd grupy (G, ) podle
podgrupy H.
Homomorfismy grup ­ p.16/23

Vlastnosti levých tříd
Tvrzení. Bud' (G, ) grupa a H  G její
podgrupa. Pak pro libovolné prvky a, b  G platí:
aH = bH  b  aH.
Homomorfismy grup ­ p.17/23

Vlastnosti levých tříd
Tvrzení. Bud' (G, ) grupa a H  G její
podgrupa. Pak pro libovolné prvky a, b  G platí:
aH = bH  b  aH.
Důsledek. Bud' (G, ) grupa a H  G její
podgrupa. Pak množina G/H všech levých tříd
grupy (G, ) podle podgrupy H tvoří rozklad
množiny G.
Homomorfismy grup ­ p.17/23

Vlastnosti levých tříd
Tvrzení. Bud' (G, ) grupa a H  G její
podgrupa. Pak pro libovolné prvky a, b  G platí:
aH = bH  b  aH.
Důsledek. Bud' (G, ) grupa a H  G její
podgrupa. Pak množina G/H všech levých tříd
grupy (G, ) podle podgrupy H tvoří rozklad
množiny G.
Poznámka. G/H se nazývá levý rozklad grupy
(G, ) podle podgrupy H. Jednou ze tříd rozkladu
G/H je i podgrupa H sama, nebot' H = 1H.
Homomorfismy grup ­ p.17/23

Příklady VII
7. Uvažme grupu (Z, +). Pak pro každé n  N
je nZ = {n   |   Z} podgrupa grupy (Z, +).
Homomorfismy grup ­ p.18/23

Příklady VII
7. Uvažme grupu (Z, +). Pak pro každé n  N
je nZ = {n   |   Z} podgrupa grupy (Z, +).
Zkoumejme nyní levý rozklad Z/nZ. Třídy tohoto
rozkladu jsou množiny tvaru
m + nZ = {m + n   |   Z} pro libovolná m  Z.
Homomorfismy grup ­ p.18/23

Příklady VII
7. Uvažme grupu (Z, +). Pak pro každé n  N
je nZ = {n   |   Z} podgrupa grupy (Z, +).
Zkoumejme nyní levý rozklad Z/nZ. Třídy tohoto
rozkladu jsou množiny tvaru
m + nZ = {m + n   |   Z} pro libovolná m  Z.
Ale {m + n   |   Z} = {k  Z | k 
m (mod n)} = [m]n. Je tedy levý rozklad Z/nZ
roven množině Zn všech zbytkových tříd podle
modulu n.
Homomorfismy grup ­ p.18/23

Příklady VIII
8. Bud' n  N. Uvažme symetrickou grupu
(Sn, ) stupně n všech permutací množiny
{1, 2, . . . , n} vzhledem ke skládání permutací,
a její podgrupu An pozůstávající ze všech
sudých permutací množiny {1, 2, . . . , n}.
Homomorfismy grup ­ p.19/23

Příklady VIII
8. Bud' n  N. Uvažme symetrickou grupu
(Sn, ) stupně n všech permutací množiny
{1, 2, . . . , n} vzhledem ke skládání permutací,
a její podgrupu An pozůstávající ze všech
sudých permutací množiny {1, 2, . . . , n}.
Pro libovolnou permutaci   Sn platí, že
An = An (An = Sn - An ) právě tehdy, když
 je sudá (lichá) permutace.
Homomorfismy grup ­ p.19/23

Příklady VIII
8. Bud' n  N. Uvažme symetrickou grupu
(Sn, ) stupně n všech permutací množiny
{1, 2, . . . , n} vzhledem ke skládání permutací,
a její podgrupu An pozůstávající ze všech
sudých permutací množiny {1, 2, . . . , n}.
Pro libovolnou permutaci   Sn platí, že
An = An (An = Sn - An ) právě tehdy, když
 je sudá (lichá) permutace.
Levý rozklad grupy (Sn, ) podle podgrupy An má
tvar Sn/An = {An, Sn - An}.
Homomorfismy grup ­ p.19/23

Konečné grupy
Bud' (G, ) konečná grupa. Pak počet prvků
množiny G se nazývá řád grupy (G, ) a značí se
|G|.
Homomorfismy grup ­ p.20/23

Konečné grupy
Bud' (G, ) konečná grupa. Pak počet prvků
množiny G se nazývá řád grupy (G, ) a značí se
|G|.
Bud' H  G podgrupa grupy (G, ). Pak také
(H, ) je konečná grupa a její řád je |H|.
Homomorfismy grup ­ p.20/23

Konečné grupy
Bud' (G, ) konečná grupa. Pak počet prvků
množiny G se nazývá řád grupy (G, ) a značí se
|G|.
Bud' H  G podgrupa grupy (G, ). Pak také
(H, ) je konečná grupa a její řád je |H|.
Existuje jen konečný počet levých tříd grupy (G, )
podle podgrupy H. Tento počet se nazývá index
podgrupy H v grupě (G, ) a značí se |G/H|.
Homomorfismy grup ­ p.20/23

Vztah řádů grupy a podgrupy
Tvrzení. Bud' (G, ) konečná grupa a bud' H  G
její podgrupa. Pak platí |G| = |G/H|  |H|.
Homomorfismy grup ­ p.21/23

Vztah řádů grupy a podgrupy
Tvrzení. Bud' (G, ) konečná grupa a bud' H  G
její podgrupa. Pak platí |G| = |G/H|  |H|.
Důsledek. (Lagrangeova věta) Ř ád každé
podgrupy konečné grupy (G, ) je dělitelem řádu
grupy (G, ).
Homomorfismy grup ­ p.21/23

Vztah řádů grupy a podgrupy
Tvrzení. Bud' (G, ) konečná grupa a bud' H  G
její podgrupa. Pak platí |G| = |G/H|  |H|.
Důsledek. (Lagrangeova věta) Ř ád každé
podgrupy konečné grupy (G, ) je dělitelem řádu
grupy (G, ).
Podle Cayleyho věty je každá grupa (G, )
izomorfní některé podgrupě grupy permutací
(S(X), ) vhodné množiny X.
Homomorfismy grup ­ p.21/23

Stabilizátor a orbita
Bud' X neprázdná množina a bud' G  S(X)
libovolná podgrupa grupy permutací (S(X), ).
Pak (G, ) je grupa, jejímiž prvky jsou některé
permutace množiny X.
Homomorfismy grup ­ p.22/23

Stabilizátor a orbita
Bud' X neprázdná množina a bud' G  S(X)
libovolná podgrupa grupy permutací (S(X), ).
Pak (G, ) je grupa, jejímiž prvky jsou některé
permutace množiny X.
Pro libovolný prvek x  X uvažme množinu
permutací
Gx = {  G | (x) = x},
kterou nazýváme stabilizátor prvku x v grupě
(G, ),
Homomorfismy grup ­ p.22/23

Stabilizátor a orbita
Bud' X neprázdná množina a bud' G  S(X)
libovolná podgrupa grupy permutací (S(X), ).
Pak (G, ) je grupa, jejímiž prvky jsou některé
permutace množiny X.
Pro libovolný prvek x  X uvažme množinu
permutací
Gx = {  G | (x) = x},
kterou nazýváme stabilizátor prvku x v grupě
(G, ), a množinu prvků z X
G(x) = {(x) |   G},
kterou nazýváme orbita prvku x vzhledem ke
grupě (G, ). Homomorfismy grup ­ p.22/23

Vlastnosti stabilizátoru a orbity
Tvrzení. Bud' G  S(X) podgrupa grupy (S(X), ). Pak
stabilizátor Gx každého prvku x  X je podgrupou grupy
(G, ).
Homomorfismy grup ­ p.23/23

Vlastnosti stabilizátoru a orbity
Tvrzení. Bud' G  S(X) podgrupa grupy (S(X), ). Pak
stabilizátor Gx každého prvku x  X je podgrupou grupy
(G, ).
Tvrzení. Bud' G  S(X) podgrupa grupy (S(X), ). Pak
množina {G(x) | x  X} všech orbit prvků množiny X
vzhledem ke grupě (G, ) tvoří rozklad množiny X.
Homomorfismy grup ­ p.23/23

Vlastnosti stabilizátoru a orbity
Tvrzení. Bud' G  S(X) podgrupa grupy (S(X), ). Pak
stabilizátor Gx každého prvku x  X je podgrupou grupy
(G, ).
Tvrzení. Bud' G  S(X) podgrupa grupy (S(X), ). Pak
množina {G(x) | x  X} všech orbit prvků množiny X
vzhledem ke grupě (G, ) tvoří rozklad množiny X.
Tvrzení. Bud' X konečná množina. Bud' dále G  S(X)
podgrupa konečné grupy (S(X), ). Pak pro počet prvků
|G(x)| orbity G(x) kteréhokoliv prvku x  X vzhledem ke
grupě (G, ) platí, že |G(x)| = |G/Gx|.
Homomorfismy grup ­ p.23/23