Podgrupy a homomorfismy grup
Nechť (G, ■) je grupa s jednotkovým prvkem 1 a nechť H C G je podmnožina splňující následující tři podmínky:
(Va,b£ H)(a-b£ H), 1 G H,
(Va G H)(a~l G H).
Pak říkáme, že H je podgrupa grupy (G, ■). Důvodem pro tuto terminologii je fakt plynoucí přímo z uvedených podmínek, že potom totiž množina H je uzavřená vzhledem k operaci ■, čili ■ zůstává operací, i když ji zúžíme jenom na množinu H, a přitom dvojice (H, ■) je opět grupa.
Pro každou grupu (G, ■) jsou podmnožiny {1} a G množiny G podgrupami grupy (G, ■). Kromě nich ovšem může mít grupa (G, ■) množství dalších podgrup. Příklady budou následovat. Podgrupy H C G grupy (G, ■) splňující H ^ G se nazývají vlastní podgrupy grupy (G, ■).
Příklady. Množina Z všech celých čísel je podgrupou v grupě (Qj+)- Podobně množina Q — {0} všech nenulových racionálních čísel je podgrupou v grupě (R— {0}, ■). Rovněž množina R+ všech kladných reálných čísel je podgrupou v grupě (R— {0}, ■).
V kapitole o permutacích jsme zavedli množinu S(X) všech permutací dané množiny X a v kapitole o grupách jsme viděli, že spolu se skládáním zobrazení o tak vzniká grupa (S(X), o), nazývaná grupa permutací množiny X. Budeme dále opět pracovat pouze s konečnými množinami tvaru X = {1, 2,... ,n}, kde n je přirozené číslo. Pak stejně jako v kapitole o permutacích místo S(X) budeme psát Sn. Vziká tak grupa (5n, o), která se nazývá symetrická grupa stupně n. Dále jsme v kapitole o permutacích označili An množinu všech sudých permutací
1
množiny X = {1,2,..., n}. Potom z posledního důsledku v citované kapitole plyne, že An je podgrupa v grupě (5n, o). To znamená, že pak také (An, o) je grupa. Tato grupa se nazývá alternující grupa stupně n.
Nechť (G, ■) a (H, *) jsou dvě grupy a nechť / : G —)• H je zobrazení. Řekneme, že / je homomorfismus grupy (G, ■) do grupy (H, *), je-li splněna podmínka
(Va,6GG)(/(a-6) = /(a)*/(6)).
Tvrzení. Jsou-li (G, ■), resp. (i/, *) grupy mající jednotkové prvky 1, resp. 1 a je-li / : G —»• H homomorfismus grupy (G, ■) do grupy (H, *), pak jsou rovněž splněny podmínky
/(1) = 1    a    (VaGG)(/(a-1) = /(a)"1).
Důkaz. Máme /(l) * /(l) = /(l ■ l) = /(l), odkud plyne 1 = /(l) * /(I)"1 = /(l) * /(l) * /(I)"1 = /(l) * 1 = /(l). Dále pro každé a E G máme f (a) * /(a-1) = /(a ■ a-1) = /(l) = 1 = /(l) = /(a-1 ■ a) = /(a-1) * /(a), takže /(a-1) je inverzním prvkem k prvku /(a), a tedy /(a-1) = /(a)-1.
Příklady. Vezměme libovolné n G N a uvažme zobrazení h : Z —>• Zn dané pro každé a G Z předpisem /i(a) = [a]n. Pak zobrazení /i je homomorfismus grupy (Z, +) do grupy (Zn,+), neboť pro libovolná a, 6 G Z máme [a + 6]n = [a]n +
Nechť opět n G N je libovolné číslo. V kapitole o permutacích jsme pro každou permutaci a G Sn definovali její paritu p(cr) a v posledním důsledku této kapitoly jsme viděli, že pro kterékoliv dvě permutace a, t G Sn platí p(cror) = p(cr)-p(r). To znamená, že zobrazení p : Sn —> Q — {0} přiřazující každé permutaci a G Sn její paritu p{o) je homomorfismus grupy (Sn, o) do grupy
(Q-{o},-)-
2
Tvrzení. Nechť (G,-), {H,*) a (K, •) jsou grupy a nechť / : G —)• H, resp. g : H ^ K jsou homomorŕismy grupy (G, ■) do grupy (H,*), resp. grupy (H,*) do grupy (K, •). Pak složené zobrazení g o / : G —>• .ŕí je homomorŕismus grupy (G, ■) do grupy (K, •).
Důkaz. Skutečně pak pro libovolná a, b E G máme
(9°f)(a-b)=g(f(a-b))=g(f(a)*f(b))
= g(M) • g(f(b)) = (g o /)(<,) • (</ o /)(&).
Tvrzení. Nechť (G, ■) a (H, *) jsou grupy a nechť / : G —>• H je homomorŕismus grupy (G, ■) do grupy (H, *). Pak obraz /(G) při tomto homomoríismu je podgrupa grupy (H, *).
Důkaz. Nechť 1, resp. 1 jsou jednotkové prvky grup (G, ■), resp. (H,*). Nechť c, d E f {G) jsou libovolné prvky. Pak existují prvky a,b G G takové, že /(a) = c a f (b) = cř. Pak máme c * d = f (a) * /(&) = f (a • 6), takže také c * d E f {G). Dále 1 = /(l), takže též 1 G /(G). Konečně pro každý prvek c G /(G), c = /(a), kde a G G, máme c-1 = /(a)-1 = /(a-1), takže rovněž c-1 G /(G). Je tedy /(G) podgrupa grupy (iŕ, *).
Nechť (G, ■) a (H, *) jsou grupy a nechť / : G —>• H je zobrazení, které je současně bijekcí množiny G na množinu H a také homomorfismem grupy (G,-) do grupy (H,*). Pak říkáme, že / je izomorfismus grupy (G, ■) na grupu (H, *). Názorně lze význam tohoto pojmu přiblížit sdělením, že v takovém případě jsou obě grupy (G, ■) a (H, *) vlastně jenom kopiemi jedné a téže grupy. O takových dvou grupách pak říkáme, že jsou izomorfní.
Příklady. Grupa (Z2, +) má dva prvky, totiž třídy [0J2 a [1J2-Množina čísel { — 1,1} je zřejmě podgrupou grupy (Q — {0}, ■). Takto dostáváme rovněž dvouprvkovou grupu ({ — 1,1}, ■)• Lze se přímo přesvědčit, že zobrazení množiny 7L<i na množinu { — 1,1}
3
přiřazující třídě [0J2 číslo 1 a třídě [1J2 číslo —1 je izomorfismus grupy (Z2j +) na grupu ({-1,1}, ■).
Zobrazení log : R+ —> R přiřazující každému kladnému reálnému číslu x jeho přirozený logaritmus log(x) je bijekcí množiny R+ všech kladných reálných čísel na množinu R všech reálných čísel a současně je to homomoríismus grupy (R+, ■) na grupu (R, +), neboť, jak známo, pro libovolná kladná reálná čísla x, y platí \og(x -y) = log(x) -\-\og(y). Jde tedy o izomorfismus těchto dvou grup.
Tvrzení. Jsou-li (G, ■) a (H, *) grupy a je-li / : G —)• H izomorfismus těchto grup, pak také inverzní zobrazení f~l : H —>• G je izomorfismem těchto grup.
Důkaz. Skutečně pro libovolná c,d 6 H máme
f(f-\c*d)) = c*d = f(f-\c))*f(f-\d)) = f(f-\c).f-\d)),
neboť / je homomoríismus. Aplikací inverzního zobrazení f~l na první a poslední prvek v této posloupnosti rovností pak obdržíme, že /_1(c * d) = /_1(c) ■ /_1(cř), což potvrzuje, že f~l je rovněž homomoríismus.
Nechť znovu (G, ■) a (H, *) jsou grupy a nechť / : G —)• H je homomoríismus grupy (G, ■) do grupy (H, *). Podle předminulého tvrzení pak obraz f(G) při tomto homomoríismu je pod-grupa grupy (H, *). Je tedy dvojice (/(C), *) sama grupou. Je-li navíc zobrazení / prosté, pak lze toto zobrazení chápat jako bi-jekci množiny G na množinu f(G), a tedy jde o izomorfismus grupy (G, ■) na grupu (/(£),*), jež je podgrupou grupy (H, *).
Nyní jsme připraveni dokázat následující Cayleyho větu.
Věta. Každá grupa (G, ■) je izomorfní některé podgrupě grupy permutací (5(X),o) pro nějakou množinu X. Je-li uvedená grupa konečná, může být množina X také konečná.
4
Důkaz. Ke každému prvku a E G uvažujme zobrazení Aa : G —> G definované pro každé g E G předpisem Xa(g) = a-g. Toto zobrazení je bijekce, neboť zobrazení Aa-i je k němu zobrazením inverzním, jelikož platí AaoAa-i = idg = Aa-ioAa, neboť a-a-1 = 1 = a-1 ■ a. Je tedy zobrazení Aa permutací množiny G. Nyní můžeme definovat zobrazení
A : G -)> S{G)
tak, že pro každý prvek a položíme A (a) = Aa. Abychom důkaz dokončili, podle komentáře předcházejícího této větě stačí, když ukážeme, že A je prostý homomorfismus grupy (G, ■) do grupy (5((7),o). Fakt, že zobrazení A je prosté, plyne z toho, že pro libovolná a, b G G rovnost Aa = A& má za důsledek, že a = Aa(l) = A&(l) = 6, tedy že a = b. Zbývá dokázat, že A je homomorfismus, čili že pro každá a, b G G máme A (a ■ b) = A (a) o A (6), tedy že platí
K-b = K ° -V
Jde o rovnost zobrazení, kterou ověříme, když zkontrolujeme, že obě zobrazení přiřazují každému prvku z G tentýž prvek. Vezměme tedy libovolný prvek g G G. Pak ovšem máme
KM = a-b-g = a - Xb(g) = Aa(A&(#)) = (Affl o Xb)(g).
Je tedy A prostý homomorfismus, což znamená, že grupa (G, ■) je izomorfní podgrupě (A(G), o) grupy (S(G), o).
5