Podgrupy
Nechť (G, ■) je grupa s jednotkovým prvkem 1 a nechť H C G je podmnožina splňující následující tři podmínky:
(Va,b£ H)(a-b£ H), 1 G H,
(Va G H)(a~l G H).
Pak říkáme, že H je podgrupa grupy (G, ■). Důvodem pro tuto terminologii je fakt plynoucí přímo z uvedených podmínek, že potom totiž množina H je uzavřená vzhledem k operaci ■, čili ■ zůstává operací, i když ji zúžíme jenom na množinu H, a přitom dvojice (H, ■) je opět grupa.
Pro každou grupu (G, ■) jsou podmnožiny {1} a G množiny G podgrupami grupy (G, ■). Kromě nich ovšem může mít grupa (G, ■) množství dalších podgrup. Příklady budou následovat. Podgrupy H C G grupy (G, ■) splňující H ^ G se nazývají vlastní podgrupy grupy (G, ■).
Příklady. Množina Z všech celých čísel je podgrupou v grupě (Qj+)- Podobně množina Q — {0} všech nenulových racionálních čísel je podgrupou v grupě (R— {0}, ■). Rovněž množina R+ všech kladných reálných čísel je podgrupou v grupě (R— {0}, ■).
V kapitole o permutacích jsme zavedli množinu S(X) všech permutací dané množiny X a v kapitole o grupách jsme viděli, že spolu se skládáním zobrazení o tak vzniká grupa (S(X), o), nazývaná grupa permutací množiny X. Budeme dále opět pracovat pouze s konečnými množinami tvaru X = {1, 2,... ,n}, kde n je přirozené číslo. Pak místo S(X) budeme psát Sn. Vziká tak grupa (5n, o), která se nazývá symetrická grupa stupně n.
Dále jsme v kapitole o permutacích označili An množinu všech sudých permutací množiny X = {1, 2,..., n}. Potom z posledního důsledku v citované kapitole plyne, že An je podgrupa v grupě (Sn, o). To znamená, že pak také (An, o) je grupa. Tato grupa se nazývá alternující grupa stupně n.
Tvrzení. Nechť (G, ■) je grupa. Pak pro libovolnou indexovou množinu / ^ 0 a pro libovolný soubor podgrup Hi grupy (G, ■), kde i E I, platí, že průnik tohoto souboru podgrup Hi je také podgrupa grupy (G, ■).
Důkaz. Nechť a, b E H\ jsou libovolné prvky. Pak ovšem máme a, b E Hi pro všechna i E I. Poněvadž jde o podgrupy, plyne odtud, že pak a • b E Hi platí pro všechna i E I. To ale znamená, že a-b E C\i£l H\- Podobně se zjistí, že také 1 G C\i£l H\ a že z toho, že a G P|íe/-říj, plyne rovněž, že a-1 G Hi. Je tedy C\i€iHi Podgrupa grupy (G, ■).
Důsledek. Nechť (G, ■) je grupa. Označme S(G) množinu všech podgrup grupy (G, ■). Podgrupy grupy (G, ■) lze navzájem porovnávat množinovou inkluzí C. Vzniká tak uspořádaná množina (<S(G), C), a tato uspořádaná množina je úplný svaz.
Důkaz. Z kapitoly o svazech víme, že stačí pro libovolnou podmnožinu Q C S (G) ukázat, že existuje inf Q v (<S(G), C). Je-li Q ^ 0, pak z předchozího tvrzení víme, že průnik f] Q všech podgrup z Q je zase podgrupou grupy (G, ■), a je jasné, že pak inf Q = Q Q. Pro Q = 0 pak evidentně je inf 0 = G, což je nej větší podgrupa grupy (G, ■). Je tedy (<S(G), C) úplný svaz.
Buď dále (G, ■) grupa. Buď M C G libovolná podmnožina. Uvažme soubor 1Z všech těch podgrup grupy (G, ■), které v sobě obsahují množinu M. Tento soubor 1Z je neprázdný, neboť jednou z podgrup s uvedenou vlastností je také celá množina G. Podle předchozího tvrzení je pak průnik f] 1Z tohoto souboru podgrup také podgrupou grupy (G, ■), přičemž tato podgrupa v sobě rovněž obsahuje množinu M. Tuto poslední podgrupu f] 1Z pak značíme symbolem (M). Je to nejmenší podgrupa grupy (G, ■) v uspořádané množině (<S(G), C) všech podgrup této grupy mezi všemi těmi podgrupami, které v sobě obsahují množinu M. O této podgrupě (M) říkáme, že je to podgrupa generovaná množinou M, a o samotné množině M pak říkáme, že je to množina generátorů podgrupy (M). Tato terminologie je odůvodněna následujícím faktem. Předem poznamenejme, že pro M = 0 zřejmě máme (0) = {l}.
Tvrzení. Nechť (G, ■) je grupa a nechť M C G, M ^ 0 je libovolná podmnožina. Pak platí následující rovnost:
(M) = {al1 • a% • ... • a% \ n G N, cti, a2,... ,an £ M,
h,Í2, {-1,1}},
kde pro každý prvek a E M interpretujeme a1 jako a a a-1 je inverzní prvek k prvku a.
Důkaz. Označme množinu uvedenou napravo v této rovnosti jako T. Máme ukázat, že pak platí (M) = T. Podle definice je (M) nejmenší podgrupa grupy (G, ■) vzhledem k inkluzi obsahující množinu M. Stačí, když ukážeme, že tyto podmínky, které jednoznačně vymezují množinu (M), platí také pro množinu T. Pak budeme vědět, že opravdu (M) = T.
Nejprve se přesvědčíme, že T je podgrupa grupy (G, ■). Jsou-li ovšem a\ ■ a% ■ ... ■ fej1 ■ &j2 ■ ... ■ Vkk G T libovolné prvky, kde n, k G N, ai, a2,..., an, 61, 62, • • •, &fc G M a «i,«2, • • • ,w'i,J2, • • • ,Jfc £ {-!>!}> Pak Je vidět, že také a\ ■ a22 ■ ... ■ ■ oj1 ■ b>22 ■ ... ■ b>kh E T. Dále M ^ 0 a pro libovolný prvek a E M máme a ■ a-1 G T, přičemž a ■ a-1 = 1, takže 1 G T. Je také vidět, že pokud a^1 ■ a22 ■ ... ■ a^n G T, pak také a~ln • t^-f1 " • • • " aiH G T, a to je inverzní prvek k uvedenému prvku. Je tedy T podgrupa grupy (G, ■).
Dále si všimneme, že očividně M C T, tedy že množina T v sobě obsahuje množinu M.
Nakonec ukážeme, že T je nejmenší podmnožina množiny G s předchozími dvěma vlastnostmi vzhledem k inkluzi, tedy že je to nejmenší podgrupa grupy (G, ■) obsahující množinu M. Buď tedy W libovolná podgrupa grupy (G, ■) obsahující množinu M. Pak je třeba ukázat, že platí T C W. Tedy pro libovolný prvek ali -a22- ... -a1™ G T, kde n G N, a\, ■ ■ ., an G M a «i, Í2, • • • ,in£ { —1,1}, máme ukázat, že a^1 ■ a22 ■ ... ■ a^1 G W. To ale ovšem ihned plyne z toho, že M C W a že W je podgrupa grupy (G, ■). Je tedy vskutku pravda, že T C W.
Příklad. Podle poznatků o rozkladech permutací konečných množin na součiny transpozic víme, že pro každé číslo n G N množina {(i j) | i, j G {1, 2,..., n}, i ^ j} všech transpozic dvojic vzájemně různých čísel z {1, 2,..., n} vygeneruje v symetrické grupě (Sn, o) stupně n jako podgrupu celou množinu Sn. Jinak řečeno, množina všech transpozic vzájemně různých čísel z {1, 2,..., n} vygeneruje celou symetrickou grupu (Sn, o).