Zobrazení
Pojem „zobrazení" nejprve vymezíme následovně. Nechť A, B jsou libovolné množiny. Zobrazením / : A —>• B množiny A do množiny B rozumíme předpis, který každému prvku a E A přiřazuje právě jeden prvek b G B. Pro takové prvky pak píšeme, že b = /(a), a říkáme, že b je obrazem prvku a při zobrazení /.
Uvedené vymezení daného pojmu ovšem obsahuje blíže nespecifikovaný pojem „předpis". Abychom byli schopni se bez tohoto prostředku obejít, uvažujme k danému zobrazení / : A —>• B relaci g C A x B definovanou formulí
(VaG A){VbE B){agb b = f(á))
a nazývanou graf zobrazení /. Všimněme si, že pak relace g splňuje podmínku
Dom g = A,
neboť zobrazení / každému prvku z A přiřazuje nějaký obraz, a dále podmínku
(VaG A){Vb,b' G B){agb k a gb' => b = bf),
neboť zobrazení / každému prvku z A přiřazuje jediný obraz. Přitom relace g zobrazení / kompletně určuje, neboť g je vlastně výčtem všech uspořádaných dvojic (a, b) E A x B takových, že b = f (a).
Na druhé straně libovolnou relaci g C A x B splňující výše uvedené dvě podmínky je možno chápat tímtéž způsobem jako popis určitého zobrazení /, které je pak možno zadat předpisem
(Va G A) (y b E B)(b = f (a) agb),
neboť ze zmíněných podmínek plyne, že pak každý prvek z A má svůj obraz a že tento obraz je jediný.
1
Chceme-li tedy podat definici pojmu „zobrazení" jenom s pomocí pojmů zavedených v teorii množin, nabízí se možnost přímo ztotožnit zobrazení / s jeho grafem g, tak jak byl popsán výše. Tímto způsobem dostáváme následující množinovou definici daného pojmu:
Nechť A, B jsou libovolné množiny a nechť / C A x B je relace mezi nimi. Řekneme, že / je zobrazení množiny A do množiny B a píšeme / : A —>• B, jestliže jsou splněny podmínky
Dom / = A
a dále
(Va G A)(V&,6' EB){afb k a f b' => b = b').
V tom případě, jak bylo uvedeno shora, místo zápisu a f b, případně (a, b) E /, zpravidla píšeme b = f (a).
Nechť A, B jsou množiny. Zobrazení / : A —>• B se nazývá surjekce, nebo též zobrazení na množinu B, platí-li
Imf = B.
Při takovém zobrazení / každý prvek b E B má alespoň jeden vzor, tedy prvek a E A takový, že b = f (a). Zobrazení / : A —>• B se nazývá injekce, nebo též prosté zobrazení, splňuje-li podmínku
(VbEB)(Va,aEA)(afbkafb =^ a = a).
Při takovém zobrazení / každý prvek b E B má nanejvýš jeden vzor, tedy prvek a E A takový, že b = f (a). Zobrazení / : A —y B se nazývá bijekce, nebo též vzájemně jednoznačné zobrazení množiny A na množinu B, je-li / současně injekce i surjekce.
Nechť A, B jsou množiny a nechť / : A —y B je bijekce. Pak inverzní relace f~l k relaci / je zase zobrazení. To ihned
2
plyne z výše uvedených podmínek, neboť požadavky, aby / byla surjekce a injekce, přesně odpovídají podmínkám, které je třeba splnit, aby f~l bylo zobrazení. Máme tedy zobrazení f~l : B —>• A, které samo je rovněž bijekce, neboť zase požadavky nutné k tomu, aby / bylo zobrazení, znamenají, že f~l je surjekce a injekce. Říkáme, že f~l je inverzní zobrazení k zobrazení /.
Definujeme skládání zobrazení. Poněvadž zobrazení jsou speciální typy relací, definujeme toto skládání stejným způsobem jako skládání relací. Je ale zřejmé, že jsou-li A, B, C množiny a jsou-li / : A —y B a g : B —>• C zobrazení, pak jejich složením dostaneme relaci g o /, která je opět zobrazením g o / : A —)• C. Přitom toto zobrazení je očividně dáno předpisem
(VaeA)(bo/)(a) = fl(/(a))).
Připomeňme, že skládání relací, a tedy i skládání zobrazení je asociativní.
Definujme pro libovolnou množinu A zobrazení íÚa '■ A —>• A předpisem (Va 6 A)(ícIa{ci) = cl)- Toto zobrazení se nazývá identita na A. Je jasné, že pak pro libovolné množiny A, B a pro libovolné zobrazení / : A —>• B platí
/ oidA = f = idB° /,
a je-li / navíc bijekce, pak platí také
f~1of=idA, fof~1=idB.
Důležitý je následující fakt.
Věta. Nechť A, B jsou množiny a nechť
f:A^B,  g: B^A
jsou zobrazení. Pak / je bijekce s vlastností, že f~l = g, právě tehdy, když platí g o f = id a a / o g = idB-
3
Důkaz. Je-li / bijekce a je-li g = / 1, pak samozřejmě g o f = idA a / o g = idB.
Nechť naopak zobrazení /, g splňují g°f = id a a fog = idB-Ukážeme nejprve, že / je bijekce. Nechť b E B je libovolný prvek. Položme a = g(b). Pak f(a) = f(g(b)) = idB{b) = 6, takže vidíme, že / je surjekce. Nechť dále a, a' E A jsou takové prvky, že f (a) = f (a'). Pak ovšem a = idA(a) = g{f{a)) = g{f{a')) = idA{a') = a', čili a = a', takže / je také injekce. Celkem / je bijekce a existuje tedy inverzní zobrazení které je rovněž bijekce. Odtud pak dostáváme g = id a ° g = f~l ° / ° g = f~1oidB = f-\ či\ig = f-\
Jsou-li A, 5 množiny a je-li f : A ^ B zobrazení, pak množinu Im/ značíme rovněž f (A) a nazýváme ji obraz při zobrazení /. Je-li dále CCA libovolná podmnožina, můžeme definovat zobrazení g : C —»• B předpisem (Vc E C) (g (c) = f {c)). Pak toto zobrazení g se nazývá restrinkce nebo též zúžení zobrazení / na množinu C a značí se f\c-
Pro libovolné dvě množiny A, B symbolem BA značíme množinu všech zobrazení / : A —y B. Poznamenejme, že je-li A = 0, pak BA je B9, a to je množina všech zobrazení / : 0 —y B. Pro takové zobrazení / ovšem máme / C 0x5, přičemž ale 0x5 = 0, takže nutně / = 0 je prázdne zobrazení. To znamená, že B9 = {0}. Poněvadž při naší konstrukci nezáporných celých čísel bylo 0 = 0, je to důvod, proč jsme dříve definovali množinu B° jako {0}.
Řekneme, že dvě množiny A, B jsou ekvivalentní, anebo též že mají stejnou mohutnost, jestliže existuje bijekce / : A —y B. Pak píšeme A = B.
Tvrzení. Pro libovolné množiny A, B, C platí:
(A x B)c 9áAcx Bc, [AB)C = ABxC
4
Důkaz. Uvažme nejprve zobrazení p : A x B —y A a q : AxB —)• B daná pro libovolná a e A, b e B předpisy p(a, b) = a a g(a, b) = 6. Pak zobrazení
definované pro každé zobrazení / : C-^ixfí předpisem
<PÍf) = (p°f,Q°f)
je zřejmě bijekce uvedených dvou množin.
Uvědomme si dále, že pro každé zobrazení g : C —»• AB a pro každé c G C je g (c) : B ^ A zobrazením B do A. Nyní k libovolnému zobrazení g : C —>• AB definujme zobrazení g : SxC4Í předpisem g (b, c) = (g(c))(&) pro libovolná b e B, c e C. Pak zobrazení
^ : AB*C definované pro každé zobrazení g : C —»• AB předpisem
je zřejmě bijekce uvedených dvou množin.
Připomeňme, že při naší konstrukci nezáporných celých čísel jsme měli 2 = {0,1}. Pro libovolnou množinu A a pro libovolnou podmnožinu Y C A definujme charakteristické zobrazení Xy '■ A —>• 2 podmnožiny Y následovně. Pro libovolné a e A klademe
J 1   pokud a eY, Xy\P) - j Q   pokud a ^ y
Nyní jsme připraveni dokázat následující fakt.
Tvrzení. Pro libovolnou množinu A je V (A) = 2A. Důkaz. Zobrazení
ů : V {A) -)> 2A
definované pro každou podmnožinu Y C A předpisem
Ů(Y) = Xy je zřejmě bijekce uvedených dvou množin.
Zásadní význam má následující Cantorova věta.
Věta. Pro každou množinu A platí A ^ V (Ä).
Důkaz. Připusťme, že existuje bijekce f : A—t V (A). Uvažujme množinu Y = {a E A \ a (£ f {a)}- Pak Y C A, čili Y E V (A). Poněvadž / je podle předpokladu bijekce, existuje jediné y E A, pro něž Y = f (y). Zkoumejme nyní, zda y G Y či nikoliv. Pokud y E Y, pak z definice množiny Y plyne, že y £ f (y), a poněvadž f (y) = Y, znamená to, že y £ Y, což není možné. Pokud však y (£Y, pak zase z definice množiny Y plyne, že y E f {y), a poněvadž stále f (y) = Y, znamená to, že y E Y, což opět není možné. To dává spor.
Poznamenejme, že dvě konečné množiny mají stejnou mohutnost, právě když mají stejný počet prvků. Řekneme, že daná množina je spočetná, jestliže má stejnou mohutnost jako množina uj všech nezáporných celých čísel. Každá podmnožina spočetné množiny je konečná nebo spočetná. Není těžké ukázat, že množiny N, Z, Q všech přirozených, celých a racionálních čísel jsou všechny spočetné. Nekonečná množina, která není spočetná, se nazývá nespočetná. Z Cantorovy věty a z tvrzení, které jí předchází, tak plyne, že například množina 2W je nespočetná. Argumentem podobným tomu, který byl použit v předchozím důkazu, lze ukázat, že množina R všech reálných čísel je nespočetná. Přesněji je možné ukázat, že množiny R a 2U mají stejnou mohutnost. O množinách, které mají stejnou mohutnost jako množina R, říkáme, že mají mohutnost kontinua.
6