P000 Architektura počítačů

Číselné soustavy - obecný úvod

V dobách, kdy byly počítače pomalé, bylo pro hodnocení číselných soustav důležité, jak pracně se získávají číselné obrazy (tj. převod do číselné soustavy) a jak pracně se číselné obrazy zpracovávají (tj. náročnost základních početních operací). U počítačů pro vědecko-technické výpočty převládaly výpočty nad prováděním V/V operací. Výpočty jsou charakterizovány velkým množstvím základních početních operací, V/V operace naopak velkým množstvím převodů mezi číselnými soustavami. Proto pro počítače pro vědecko-technické výpočty bylo vhodnější použít takovou číselnou soustavu, ve které se jednodušeji zpracovávají početní operace. U počítačů pro hromadné zpracování dat (volby, statistika apod.) tomu bylo obráceně. Dnes jsou rozdíly setřeny.

Polyadické soustavy

Nejznámější polyadickou soustavou je soustava desítková. Číslo se v ní vyjadřuje jako součet mocnin deseti vynásobených jednoduchými součiniteli. Součinitelé mohou nabýt některé z hodnot 0,1,...,9 a nazývají se číslice. Číslo A lze tedy napsat

A=a_n.10ⁿ + a_n-1.10^n-1 + ...... + a_i.10ⁱ + ..... + a₁.10¹ + a₀.10⁰

Běžná je zhuštěná forma zápisu.

A= a_na_n-1 ... a_i ... a₁a₀

Takto lze vyjádřit všechna čísla celá nezáporná. Potřebujeme-li zobecnit na racionální čísla, zavedeme záporné mocniny až do řádu m. Vyjádření pak změníme na

A=a_n.10ⁿ + ... + a₁.10¹ + a₀.10⁰ + a_-1.10^-1 + a_-2.10^-2 + ... + a_-m.10^-m

a číslo pak zapisujeme stručně. Takto lze vyjádřit většinu racionálních čísel. Existují však racionální čísla, která lze přesně vyjádřit jen nekonečným periodickým výrazem. Je to např. Připustíme-li růst donekonečna, připustíme tím i vyjádření čísel iracionálních. Jednoznačnost je zde zachována s výjimkou případů, kdy vyjádření čísla končí nenulovou číslicí, následovanou nekonečnou řadou nul. Pak lze ve vyjádření nahradit nenulovou číslici číslicí o jedničku nižší a řadu nul nahradit nekonečnou řadou devítek. Tak vznikne druhé vyjádření téhož čísla. Tento jev by mohl být považován z hlediska počítačů za nezajímavý vzhledem k tomu, že délka čísla, zobrazeného v počítači, musí být vždy konečná. Avšak při algoritmu dělení se postupně získávají číslice podílu a proces sám o sobě nikdy nekončí. Je ho třeba zakončit uměle. Tehdy by se mohlo stát, že např. celočíselný podíl bude vyjádřen druhým způsobem (ovšem ne v nekonečném tvaru).

Zobecnění na záporná čísla zařazením znaménka před číslo je vhodné pro  lidské chápání, nikoli však pro počítač. Při zobecnění pro jiný základ získáme např. při z=2 dvojkovou - binární soustavu (vhodná pro  vědecko-technické výpočty), při z=8 osmičkovou - oktalovou soustavu, při z=16 šestnáctkovou - hexadecimální soustavu. Číslice v těchto soustavách nabývají hodnot . V šestnáctkové soustavě se číslice 10 až 15 pro přehlednost nahrazují znaky A až F.

Michal Brandejs brandejs@informatics.muni.cz