IBOOO Úvod do informatiky -- příklady na procvičení Sada 8 -- Řešení Upozornění Vzorová řešení dostáváte k dispozici, abyste mohli zkontrolovat správnost svých řešení. Můžete je použít i jako návody k řešení jednotlivých příkladů tak, že je budete číst po částech a budete se snažit další krok provést vždy sami. Příklady ztratí veškerý svůj smysl, pokud se je budete učit jako básničku. Snažte se nad nimi přemýšlet a vyřešit je sami, než se podíváte do vzorových řešení. Téma Vhodně definované vlastnosti relací, uzávěry relací. Výroky. Výroková logika, valuace, normální tvar výrokových formulí, negace výrokových formulí, pravdivost a splnitelnost výrokových formulí. Predikátová logika, negace formulí predikátové logiky. Příklad 1. a) Určete reflexivní uzávěr relace {(x,y) \ xy = 0} C No x Nob) Určete symetrický uzávěr relace {(x,y) \ xy = 0} C No x Noc) Určete tranzitivní uzávěr relace {(x,y) \ xy = 0} C No x Nod) Určete reflexivní, symetrický a tranzitivní uzávěr relace {(x,y) \ xy = 0} C No x Noe) Určete reflexivní uzávěr relace {(2i + 1, li + 3) | i E No}. f) Určete symetrický uzávěr relace {(2i + 1, 2i + 3) | i E No}. g) Určete tranzitivní uzávěr relace {(2i + 1, 2i + 3) | i E No}. h) Určete reflexivní, symetrický a tranzitivní uzávěr relace {(2i + 1, 2i + 3) | i E No}. i) Nechť R = {(x, y) \ x < 2y A y < 2x} C M x R , kde ÍR značí množinu všech reálných čísel. Určete R o R. Příklad 2. Nechť A, B, C, D jsou atomické propozice. Nechť v je valuace, která splňuje v(Ä) = = ľ{B) = true a v(C) = v(D) = false. Podle definice Sv určete Sv(
-.(> A (A => B)) b) ip = (-.A => (B A -.)) => ^ A c) (p = (-.C => - ( - A <& -iß)) A ((Ľ => S) V (-.B => C)) Řešení Poznámka k terminologii: Na přednášce byl místo pojmu ,,atomická propozice" definován pojem ,,výroková proměnná". Mezi těmito pojmy nebudeme rozlišovat, budeme je považovat za vzájemně zaměnitelné. Poznámka pro jistotu, kterou se nenechte zmást: zápis
. Tedy = C $ x $ , zatímco = C E x f , kde E je množina znaků, které používáme pro označování prvků í>. Navíc relace = je zcela definována sémantikou formulí, zatímco relaci = definujeme v každém příkladě podle potřeby. Protože značení v tomto směru není ustálené a 1 rozdíly se často zanedbávají, protože nevedou k nejasnostem, budeme i my při opravování k tomuto značení tolerantní. Budeme postupovat přesně podle definice funkce Sv, jak byla uvedena na přednášce. Z definice je vidět, že pro výpočet Sv(p) pro nějakou výrokovou formuli p již musíme znát hodnoty Sv(r tp) všech podformulí tp formule p. Budeme tedy postupovat ,,zevnitř" formule od strukturálně nejjednodušších podformulí (tj. atomických propozic) k podformulím se složitější strukturou a pro každou takovou podformulí tp určíme hodnotu Su(ip) na základě již dříve vypočítaných hodnot. Výpočty odpovídají prohledávání syntaktickému stromu formule do hloubky a zleva doprava, pokud již víte, co to znamená. Ve formulích má samozřejmě negace nejvyšší prioritu. Priorita dalších operátorů je zde nepodstatná, protože struktura formulí je zcela určena uzávorkováním. a) SV{C) = false O) z definice v SV{D) = false (Ü) z definice v S,,(CVD) = false (iii) z (i) a (ii) SM) = true (iv) z definice v SV{B) = true (v) z definice v SV{A => B) = true (vi) z (iv) a (v) SV{D A(A^ .B)) = false (vii) z (ii) a (vi) SM(D A (A => B))) = true (viii) z (vii) 1 y D) 4 n ( D A (A^ B))) = true (ix) z (iii) a (viii) b) SM) = true O) z definice v SM A) = false (Ü) z (i) SAB) = true (iii) z definice v SMB) = false (iv) z (iii) 5 , ( 5 A n f l ) = false (v) z (iii) a (iv) SMA => (BA-ˇB)) = true (vi) z (ii) a (v) SM^A) = true (vii) z(ii) ^ ( ( n i ^ ^ A n ß ) ) = ^ - r-.A) = true (viii) z (vi) a (vii) c) SM) SMC) SM) SMA) SM) SMB) false (i) z definice v true (Ü) z (i) true (iii) z definice v false (iv) z (iii) true (v) z definice v false (vi) z (v) 2 SV(-^A <& -.5) = true (vii) z (iv) a (vi) SV(^A<*^B)) = false (viii) z (vii) S ^ C ^ ^ A ^ ^ ß ) ) = false (ix) z (ii) a (viii) SV(D) = false (x) z definice v SV(D => B) = true (xi) z (x) a (v) SV(^B => C) = true (xii) z (vi) a (i) SV{{D ^ B)y (-.5 => C)) = true (xiii) z (xi) a (xii) SV((-^C => -.(-.A ^ -.)) A ((Ľ => B) V (-.5 ^ C ) ) ) = false (xiv) z (ix) a (xiii) Příklad 3. Nechť A, B, C, D jsou atomické propozice. Znegujte následující formule. (Protože znegováním se myslí i převedení do normálního tvaru, máte za úkol pro formuli
-.(> A (A => S)) b) p = (-.C => - ( - A <& -iß)) A ((Ľ => S) V (-.B => C)) c)
0 =/- 3y, z G No- y | x A z | x =>- 3u> G No- w > x A z | w A y | w Řešení Protože funkce SV : í> --ˇ {true, false} nezobrazuje formule výrokové formule na jiné formule výrokové logiky, nemohli jsme v předchozím příkladě začít se zápisem Sv(p>) a pomocí ,,rovnosti" se k výsledku ,,dopočítat". Například význam zápisu true A false, jakkoliv je intuitivně zřejmý, není formálně definován. Museli jsme proto postupovat ,,zdola nahoru", od strukturálně nejjednodušších podformulí ke složitějším. Naproti tomu u funkcí T : í> --ˇ í> a Q : í> --ˇ í> to možné je. Přitom í> může být množina všech formulí výrokové logiky i množina všech formulí predikátové logiky (funkce Sv není pro predikátovou logiku definována). Jak už je naznačeno v zadání, můžeme normální tvar negace formule p> určit tak, že začneme s výrazem T(-^p>) a podle definic funkcí T a Q formuli -up upravovat shora dolů. Aplikaci funkce na složitější formuli upravíme na aplikací funkcí na strukturálně jednodušší formule. Stejně jako v předchozím příkladě odpovídají výpočty prohledávání syntaktického stromu formule do hloubky a zleva doprava. Zde je možné výpočet charakterizovat i stručněji: vždy se upravuje nejlevější výskyt aplikace funkce T nebo Q. Pro výpočet je důležitá priorita operátorů. Pro úplnost ji zde uvedeme. Nejvyšší prioritu má negace a kvantifikátory, následují konjunkce a disjunkce a nakonec s nejnižší prioritou implikace a ekvivalence. U kvantifikátorů si všimněte rozsahu jejich platnosti. Použití ,,tečkové konvence" označuje, kde kvantifikovaná formule začíná, ale neoznačuje, kde končí. Standardně se předpokládá, že kvantifikovanou formuli ukončuje závorka, v níž se nalézá kvantifikátor, nebo konec formule. K porozumění této konvence by mělo pomoci vzorové řešení -- určení normálního tvaru formule je výpočet po struktuře formule. a) ^(-"((C V D ) 4 -.(> A (A => B)))) = Q((C V D ) ^ -.(> A (A => B))) = J=(C V D) A g(^(D A(A^ B))) 3 {T{C) V T{D)) A (-.(> A(A^ B))) (C V F{D)) A 0(-.(> A (A ^ ß))) ( C V D ) A Ö ( n ( D A ( A = > 5 ) ) ) (CVD)AF(DA(A^B)) ( C V D ) A (:F(>) A :F(A => ß ) ) ( C V f l ) A ( D A f ( A ^ ß ) ) (C V Ľ) A (Ľ A (J-(A) => ^ ( ß ) ) ) (C V ß ) A (D A (A => T(B))) (CVD)A(DA(A=>B)) b) :F(-.((-.C ^ -,(-,^4 & -,ß)) A ((> => ß ) V (-.ß =* = 0((-iC => - ( - A ^ -iß)) A ((> => ß ) V (-.ß =; = ^(-.C => - ( - A ^ -iß)) V g ((D => ß ) V (-.ß = = Ô(-C) A ö ( - ( - A ^ -nß))) V ( ( ß ^ ß ) V (" C)))) C))) >C)) iß => C)) g{c) A sH-,A ^ -.ß))) v ö((ß ^ ß) v (-.ß => c)) ^C A ö(-"(-"A ^ -.ß))) v ö ( ( ß => ß ) V (-.ß => C)) ^C A T{-^A <* -iß)) V ( ( ß => ß ) V (-.ß => C)) nCA nCA nCA nCA nCA nCA nCA nCA nCA nCA nCA nCA nCA :F(-.A) ^ ^(--ß))) v ((ß => ß) v (-.ß => c)) ö(A) ^ :F(-.ß))) v ö((ß ^ ß) v (-.ß => c)) ^A <* :F(-.ß))) V ( ( ß => ß ) V (-.ß => C)) -.A ^ (ß))) v ö((ß ^ ß) v (-.ß => c)) ) v ö ( ( ß ^ ß ) v ( - ß ^ c ) ) ) V ( ö ( ß ^ ß ) A Ö ( - ß ^ C ) ) ) V ( ( ^ ( ß ) A Ö ( ß ) ) A Ö ( - ß ^ C ) ) ) V ( ( ß A Ö ( ß ) ) A Ö ( - ß ^ C ) ) ) V((>A-.ß) A0(-.ß=>C)) )V((DA-.ß)A(J-(-.ß)AÖ((7))) )V((DA-.ß)A(ö(ß)AÖ(C))) ) V ((D A-.ß) A (-.ß A Ö(C))) ) V ( ( D A n 5 ) A ( n 5 A n C ) ) lA<=^ lA<=^ lA<=^ lA<=^ lA<=^ iA^ iA^ iA^ iA^ i ß i ß i ß i ß i ß i ß i ß i ß i ß c) Tento příklad je oproti předchozím složitější nejen tím, že se již nejedná o formuli výrokové logiky, ale o formuli predikátové logiky, a musíte se tedy srovnat s rozsahem platnosti kvantifikátorů. Není zde totiž ani explicitně vyznačena priorita a zápis komplikuje infixová notace predikátů. Proto doplníme několik komentářů. U konjunkce a disjunkce si můžeme dovolit zápis například A A B A C, aniž bychom vyznačili rozdělení na binární operace, tj. buď A A (B A C) nebo {A AB) A C. Při výpočtu normálního tvaru však musíme jedno konkrétní uzávorkování zvolit. V tomto příkladě jsme předpokládali, že konjunkce je asociativní zleva. Pozor: u implikace na uzávorkování záleží a musí být proto vždy vyznačeno. Například formule (A =>- B) =>- C není ekvivalentní formuli A =>- ( ß =>- C), což dobře uvidíte, pokud obě formule znegujete. 4 Ve formuli používáme obecně známé predikáty uspořádání přirozených čísel podle velikosti a dělitelnosti přirozených čísel. Tyto predikáty obvykle zapisujeme v tzv. infixové notaci. Kdybychom se chtěli striktně držet definice formulí predikátové logiky, měli bychom psát >(w,x) místo w > x a \(z,x) místo z \ x. Při normalizaci formule záměrně ponecháváme zápisy tvaru ->(w > x). Je sice zřejmé, že bychom místo toho mohli napsat w < x, ale < je jiný predikát než > a definice funkcí T a Q tuto úpravu neumožňuje. K obecnému, například unárnímu predikátu P totiž nemusíme mít vždy k dispozici jiný unární predikát Q takový, že ~>P(x) platí právě tehdy, když platí Q(x). :F(-.(Va; = g(Vx = 3x e = 3x e = 3x e = 3x e = 3x e = 3x e = 3x e = 3x e = 3x e = 3x e = 3x e = 3x e = 3x e = 3x e E No- x > 0 =/- 3y, z E No- y \ x A z \ x =>- 3w E No- w>xAz\wAy\ w)) E No- x > 0 =/- 3y, z E No- y \ x A z \ x =>- 3w E No- w > x A z \w Ay \w) No- Q{x > 0 =/- 3y, z G No- y | x A z | x =>- 3u> G No- w > x A z | w A y | w ) No- ^"(x > 0) A Q (3y, z E N0. y \ x A z \ x ^ 3w E N0. w>xAz\wAy\w) No- x > 0 A (3y, zG No- y|:rAz|:r=^3w G No- w > : r A z | w A y | w ) No- x > 0 A Vy, z G No- (y | A z | x =^ 3w G No- w > x Az\w Ay\w) T(y \x Az\x) A G(3w E No- w > x A z \w Ay \w) T(y | x) A T(z | x) A Q(3w E NQ. W > X A Z | W A J / | W ) N0. x > 0 A Vy, z G No N0. x > 0 A Vy, z G No N0. x > 0 A Vy, z G No N0. x > 0 A Vy, z G No N0. x > 0 A Vy, z G No N0. x > 0 A Vy, z G No N0. x > 0 A Vy, z G No N0. x > 0 A Vy, z G No N0. x > 0 A Vy, z G No N0. x > 0 A Vy, z G No x A T(z | x) A G(3w E NQ. w > x A z | w A y | w ) x A z x A z x A z x A z x A z x A z x A z x A G(3w E No- w > x A z \w Ay \w) x A \/w E NQ. G(W > X A Z \W Ay \W) I A V W G N O I A V W G N O I A V W G N O I A V W G N O I A V W G N O (?(w > x A z | w) v ö(y I w) (?(w > x) v (?(.z I w) v G(y | w) -i(w > x) v (?(.z | w) v ö(y | w) -i(w > x) v -i(z | w) v ö(y | w) -i(w > x) V -i(z I w) V -i(y | w) Příklad 4. Formalizujte (tj. zapište jako formule výrokové, resp. predikátové logiky) a negujte následující tvrzení. Pokud se tvrzení týká čísel, vyjádřete vlastnosti pomocí aritmetických operací. Formule zapisujte v normálním tvaru. a) Když budu hodný, Ježíšek mi nadělí hezké dárky. b) Ne každý čaj mi chutná. c) Rostlina, která u mne přežije rok, je plevel. d) Když je přes den zataženo a v noci jasno, bude ráno mrznout nebo přijde obleva. e) Nechť n je sudé přirozené číslo. Potom pro každé přirozené číslo m platí, že když m je sudé, potom m + n je sudé, a když m je liché, potom m + n je liché. f) Přirozené číslo p je prvočíslo, jestliže není dělitelné jiným přirozeným číslem kromě čísla 1 a sebe samého. g) Když je přirozené číslo a větší než 8, nebo když je dělitelné přirozeným číslem b, potom a je větší než b a a ˇ b je větší než b. 5 Řešení V každém příkladě explicitně označíme části textu jako výrokové proměnné, resp. predikáty a z nich vytvoříme formuli p výrokové, resp. predikátové logiky. Výrokové proměnné, resp. predikáty budeme volit tak, aby je nebylo možné dále rozložit. Normální tvar formule i její negace přepíšeme zpět do textové podoby. Na rozdíl od předchozího příkladu budeme při přepisu do textu výrokové proměnné a predikáty někdy negovat, aby nebyla textová podoba příliš neohrabaná. K definici atomických proměnných, resp. predikátů i označení formule p budeme používat symbol =. Ve formulích predikátové logiky budeme k vyjádření vlastností čísel používat aritmetické operace a rovnost. Význam demonstrujme na příkladě: pokud ve formuli na místě predikátu použijeme například výraz x + y = 5, zapisujeme tak nějaký binární predikát P(x, y), který je splněn právě tehdy, když platí rovnost x + y = 5. a) Toto je jednoduchý výrok bez kvantifikátorů, vystačíme tedy s výrokovou logikou. A = budu hodný B = Ježíšek mi nadělí hezké dárky (p = A^B Formule p je již v normálním tvaru, což doložíme výpočtem. Je proto zbytečné ji přepisovat zpět do textové podoby. T {A => B) = F(A) => F{B) = A^ F{B) = A^B Negace: HA.A =* B)) = Q{A ^ B) = F(A)Ag(B) = AAQ(B) = AA^B Doslovný přepis negace by byl ,,Budu hodný a Ježíšek mi nenadělí hezké dárky." V češtině bychom pravděpodobně řekli ,,Budu hodný, ale Ježíšek mi nenadělí hezké dárky," protože intuitivně cítíme že tato dvě tvrzení jsou v rozporu. b) V této formuli již se kvantifikátor vyskytuje, vytvoříme tedy formuli predikátové logiky. Označme T množinu všech čajů (chemické napodobeniny ani navoněné lektvary tam nepočítáme). Nechť x E T. Uvědomte si, že toto je jiné x, než které se vyskytuje ve formuli
3k G N. n = km)) = J7 (P (n)) O T{ým e N . ( m ^ l A m ^ ( i ) 4 Sk G N. n = km) P (n P (n P (n P (n P (n P (n P (n P (n P (n =>ˇ T(im G N. ( m ^ l A m ^ ř i ) ^ ->3k G N. n = km) =>ˇ (Vm G N. J^((m ^ l A m ^ f í ) 4 -i3fc G N. n = fcm)) <^> (Vm G N. J^(m ^ l A m ^ f í ) 4 T {Sk EN. n = km)) & (Vm G N. (.F(TO ^ 1) A .F(TO ^ n)) => .F(-afc G N. n = km)) O (Vm G N. (m ^ 1 A J^(m 7^ n)) => T {Sk EN. n = km)) =>ˇ (Vm G N. ( m ^ l A m ^ ř i ) ^ JF"(--i3fc G N. n = km)) =>ˇ (Vm G N. ( m ^ l A m ^ ř i ) ^ (3fc G N. n = km)) =>ˇ (Vm G N. ( m ^ l A m ^ í i j ^ V k N . (n = km)) =>ˇ (Vm G N. ( m ^ l A m ^ í i j ^ V k N . -n {n = km)) Přepis normálního tvaru do textové podoby by byl shodný s původním tvarem, protože v normálním tvaru je jinak charakterizována jen nedělitelnost. Negace této formule je užitečná pouze jako cvičení, fakticky nemá význam negovat definici. T{-^{P{ri) O (Vm e N . ( m ^ l A m ^ ( i ) 4 Sk e N . n = km))) = G(P(n) O (Vm G N. ( f f l ^ l A m ^ ( i ) 4 > Sk e N . n = km)) m ^ l A m ^ í i ) m ^ l A m ^ í i ) (:F(P(ra)) A0(VmeN. (Q(P(n)) A ^(Vm G N. (P(n) A (Vm G N. ( m ^ l A m / n ) {Q{P{n)) A ^(Vm G N. (P(ra) A (3m G N. ((m {Q{P{n)) A ^(Vm G N. (P(n) A (3m G N. J^(m (Q(P(n)) A ^(Vm G N. (P(n) A (3m G N. {3={m (Q(P(n)) A ^(Vm G N. (P(n) A (3m eN. ( m / (Q(P(n)) A ^(Vm G N. (P(n) A (3m eN. ( m / {Q{P{n)) A ^(Vm G N. (P(n) A (3m EN. {m^ (Q(P(n)) A T^m G N. (P(ra) A =>- Sk G N. n = fcm)) V =>- Sk EN. n = km) 3k G N. n = km)) V ffl^lAm^íi)^ -i3fc G N. n = km) ^ l A m ^ f í ) 4 -i3fc EN. n = km))) V ffl^lAm^íi)^ -i3fc G N. n = fcm) ^ l A m ^ í í ) A (^3fc G N. n = km))) V ffl^lAm^íi)^ -i3fc G N. n = fcm) Ť^ 1) A 3={m j- n)) A (^3fc EN.n = km))) V ffl^lAm^íi)^ -i3fc G N. n = fcm) 1 A ^(m ^ n)) A (^3fc G N. n = km))) V ffl^lAm^íi)^ -i3fc G N. n = fcm) l A m / n ) A G{Sk E N. n = km))) V ffl^lAm^íi)^ -i3fc G N. n = km) l A m / n ) A T{3k EN. n = km))) V ffl^lAm^íi)^ -i3fc G N. n = fcm) 3m G N. ( m ^ l A m ^ ( i ) A l e N . T {n = km))) V 12 Q {P {n)) A 3={ým G N. ( m ^ l A m / í i ) ^ Sk E N. n P (n) A (3m E N. Q (P (n)) A ^(Vm e N . ( m / l A m / u ) ^ Sk E N. P(ra) A (3m G N. -iP(n) A .F(VTO G P(ra) A (3m G N. -iP(n) A (Vm G N P(ra) A (3m G N. -iP(n) A (Vm G N P(ra) A (3m G N. -iP(n) A (Vm G N P(ra) A (3m G N. -iP(n) A (Vm G N P(ra) A (3m G N. -iP(n) A (Vm G N P(ra) A (3m G N. -iP(n) A (Vm G N P(ra) A (3m G N. -iP(n) A (Vm G N P(ra) A (3m G N. -iP(n) A (Vm G N. m ^ l A m ^ f i ) A ] f c e N . n = km n m y^ 1 A m y^ n) A3k E N. n = km N. ( f f l ^ l A m ^ n ) 4 > -i3fc G N. n m ^ l A m ^ f i ) A ] f c e N . n = km T((m ^ l A m / í í ) 4 -i3fc G N. n m y^ 1 A m y^ n) A3k E N. n = km T(m ^ l A m / ? í ) 4 T (Sk E N. n m y 1 Am y n) A3k EN. n = km)) V T(m ^ 1) A ^ ( m ŕ n)) => T(Sk E N. n m y 1 Am y n) A3k EN. n = km)) V m ^ l A T (m ^ n)) => T (Sk E N. n = km))) m y 1 Am y n) A3k EN. n = km m / l A m / u ) 4 > J7 (Sk E N. n m y 1 Am y n) A3k EN. n = km m / l A m / u ) 4 > Q(3k E N. n = m y 1 Am y n) A3k EN. n = km m ^ l A m ^ í i j ^ V k N . Q(n = m y 1 Am y n) A3k EN. n = km m ^ l A m ^ í i j ^ V k N . -i(n = = fcm)) V = fcm)) V km)) V = km))) V km))) km))) V = km))) V km))) V km))) V km))) Slovní přepis negace ^ by mohl znít takto: ,,Nechť n e N . Potom je n prvočíslo a přitom je dělitelné nějakým číslem různým od sebe sama i čísla 1, nebo n není prvočíslo a není dělitelné žádným číslem kromě sebe sama a čísla 1." Do Úvodní větu ,,Nechť n E N." explicitně uvádíme, protože formule
8 V 3k E N. a = kb) =>- (a > b A a ˇ b > b) Formule již je v normálním tvaru, ověření výpočtem ponecháváme čtenáři. Negace: :F(-.((a> 8 V3fcG N. a ˇ = Q((a > 8 V3fc G N. a = J=(a > 8 V 3k E N. a -- kb) =>- (a> b Aa-b> b))) -- kb) =>- (a> b Aa-b> b)) kb) AQ(a > b A a ˇ b > b) 13 = {T{a > 8) V T{3k G N. a = kb)) A (a > b A a ˇ b > b) = (a > 8 V T{3k G N. a = kb)) A Q {a > b A a ˇ b > b) = (a > 8 V 3k G N. T {a = kb)) A Q {a > b A a ˇ b > b) = (a > 8 V 3k G N. a = kb) A Q (a > b A a ˇ b > b) = (a > 8 V 3k G N. a = kb) A (0(a > b) V (?(a ˇ b > b)) = (a > 8 V 3k G N. a = kb) A (-.a > 6 V (?(a ˇ 6 > 6)) = (a > 8 V 3fc G N. a = fcô) A (-.a > 6 V ^a ˇ 6 > 6) V textové podobě můžeme nagaci zapsat například takto: ,,Současně platí následující dvě tvrzení. (1) Číslo a je větší než 8, nebo číslo b dělí číslo a. (2) Číslo a není větší než číslo b, nebo a ˇ b není větší než 6." Příklad 5. V následujících příkladech máte za úkol znegovat definiční podmínky různých pojmů. Definice pojmů zapište jako formule výrokové, resp. predikátové logiky a znegujte je. a) Nechť n je přirozené číslo. Co znamená, že n není liché? b) Nechť R je relace. Co znamená, že R není antisymetrická? c) Nechť / C A x B je parciální funkce. Co znamená, že / není minimální prvek uspořádané množiny (T, C), kde T je množina všech parciálních funkcí z A do B? d) Nechť / C A x B je parciální funkce. Co znamená, že / není nejmenší prvek uspořádané množiny (T, C), kde T je množina všech parciálních funkcí z A do B? e) Řekneme, že přirozené číslo m je šťastné a veselé, jestliže pro žádné přirozené číslo n větší než m neplatí, že m dělí n a m + n je liché. Co znamená, že číslo m není šťastné a veselé? f) Řekneme, že přirozené číslo k je odvážné, jestliže existují přirozená čísla a, b taková, že a i b je různé od čísla 1 a zároveň k2 = o?b2 . Co znamená, že číslo k není odvážné? g) Nechť i ž C M x M j e binární relace na množině M. Řekneme, že relace R je přitažlivá, jestliže pro každé x,y G M platí: pokud (x,y) G R, potom existuje z E M takové, že (x, z) E R a (y, z) E R. Co znamená, že relace R C M x M není přitažlivá? h) Nechť / : M --ˇ M je funkce. Řekneme, že / má trojúhelník, jestliže pro každé x E E M platí f (x) 7^ x a existují navzájem různá xi,X2,xs E M taková, že f(x\) = X2, f{x2) = X3 a f(xs) = x\. Co znamená, že funkce / : M --ˇ M nemá trojúhelník? Příklad 6. Mějme výrokovou formuli
B) =^> (B =^> A).
a) Najděte všechny valuace v, pro něž Sv{^) = true. Kolik jich je?
b) Najděte všechny valuace v, pro něž Sv{^) = false. Kolik jich je?
Řešení
Protože pro danou valuaci každá formule výrokové logiky buď platí, nebo neplatí,
budou valuace, pro něž je formule ip splněna, a valuace, pro něž splněna není, tvořit rozklad
na množině všech valuací. Přitom množina všech valuací je {true, false} (množina
všech funkcí z At do {true, false}). Protože množina At je nekonečná, je jistě nekonečná
i množina všech valuací.
Ve formuli ip se však vyskytují pouze dvě výrokové proměnné. Má proto smysl rozdělit
množinu všech valuací podle toho, jaké hodnoty přiřazují výrokovým proměnným A a B.
Rozklad má 4 třídy, každá z nich je nekonečná.
14
false A v (B) = false}
false A i^(B) = true}
true A i^(B) = false}
true A i^(B) = true}
a) Sv{ip) = true platí pro všechny valuace v G AQQ U A\Q U An, což ověříme výpočty.
Valuací je tedy nekonečně mnoho.
Nechť v G AQQ.
00 = {u::At- -> {true, false} v(A)
01 = {v::At- -> {true, false} KA)
10 = {v::At- -> {true, false} "(A)
11 = {v::At- -> {true, false} "(A)
B) = true (iii) z (i) a (ii)
SV{B => A) = true (iv) z (ii) a (i)
SV((A =>B)^(B => A)) = true (v) z (iii) a (iv)
Nechť v G A\Q.
S,,(A) = true (i) z definice v
SV{B) = false (Ü) z definice v
SV{A => B) = false (iii) z (i) a (ii)
SV{B => A) = true (iv) z (ii) a (i)
SV((A =>B)^(B => A)) = true (v) z (iii) a (iv)
Nechť v G An.
^(A) = true (i) z definice v
^ ( S ) = true (Ü) z definice v
^ ( A => ) = true (iii) z (i) a (ii)
SV{B => A) = true (iv) z (ii) a (i)
SV{{A =>B)^(B => A)) = true (v) z (iii) a (iv)
b) Sv{ip) = false platí pro všechny valuace v G AQ\, COŽ ověříme výpočtem. Valuací je
tedy nekonečně mnoho.
Nechť v G AQ\.
SV{A) = false O) z definice v
SV{B) = true (u) z definice v
SV{A => B) = true (iii) z (i) a (ii)
SV{B => A) = false (iv) z (ii) a (i)
SV{{A =>B)^(B => A)) = false (v) z (iii) a (iv)
15
Příklad 7.
Rozhodněte, zda následující formule výrokové logiky jsou splnitelné. Pokud ano, nalezněte
valuaci, která to dosvědčuje.
a) (((A => B) A (B => C)) AA)A^C
b) (D <& (-. V >)) A -.((> A ) ^ i )
c) (-.-. AA)^ ((-IA => 5 ) A (-.5 => A))
Řešení
Jak víte z přednášky, rozhodnout o splnitelnosti dané formule výrokové logiky je
výpočetně velmi náročné. V podstatě to znamená vyzkoušet všechna možná ohodnocení
výrokových proměnných. Pozor: ne všechny valuace. Valuaci je nekonečně mnoho.
Protože však každá formule obsahuje pouze konečně mnoho výrokových proměnných, je
možné množinu všech valuaci rozložit na konečně mnoho tříd podobně jako v předchozím
příkladě a uvažovat pak celou třídu rozkladu valuaci najednou.
Pokud rozhodujeme o splnitelnosti formulí ručně, je výhodné postupovat shora po
struktuře formule a ptát se, co musí platit pro jednotlivé podformule, aby byla formule
splněna. Tak budeme postupovat i my a postupně budeme klást na valuaci v požadavky,
kterým musí vyhovovat, aby byla formule splněna. Můžete samozřejmě zvolit i
jiný postup, například mechanický výpočet Sv(
- B i B =>- C. Aby bylo splněno A =>- B, musí platit v(B) =
= true, protože v (A) = true. Aby bylo splněno B => C, musí platit v(B) = false, protože
v(C) = false. Žádná valuace nemůže současně splňovat v(B) = true a v(B) = false,
formule není splnitelná.
b) Formule je konjunkcí dvou podformulí. Aby byla splněna levá podformule, stačí,
aby platilo v(D) = true. Na hodnotě v(E) potom nezáleží. Aby byla splněna pravá
podformule, nesmí být splněna implikace uvnitř negace. Toho lze docílit pouze tak, že
bude platit v (A) = false a D A E se vyhodnotí na true, což nastane, pokud bude platit
v{E) = true.
Formule je splnitelná. Je splněna libovolnou valuaci v, která splňuje v (A) = false
a v(D) = v(E) = true. Pozor: Není možné napsat v = {(A,false), (B, true), (C, true)}.
Každá valuace přiřazuje pravdivostní hodnoty všem výrokovým proměnným. I těm, které
se nevyskytují ve formuli, se kterou právě pracujeme.
c) Formule klade dvě podformule do logické ekvivalence. Aby byla splněna, musí obě
podformule buď současně platit, nebo současně neplatit. Zkusme nejprve zjistit, zda mohou
obě podformule současně platit. Levá podformule je konjunkcí. Aby byla splněna,
musí platit v (A) = v(B) = true. Snadno se nyní ukáže, že za těchto podmínek je splněna
i pravá podformule. Pro zopakování zde uvedeme výpočet, který to ověřuje:
S v (A) = true (i) z definice v
SV{-^A) = false (ii) z (i)
SV(B) = true (iii) z definice v
16
SV{-^A => B) = true (iv) z (ii) a (iii)