Základy matematiky — podzim 2005 — 1. termín — 5.1.2006
1.   (7krát ±1 bod (správně 1 bod, chybně —1, bez odpovědi 0 — při záporném součtu se do celkového hodnocení započítá 0))
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a)   ano — ne    Mezi množinami V(V(N)) a V(N) existuje bijekce.
(b)   ano — ne    Pro libovolné množiny A, B, C a zobrazení / : A —► B, g : B —► C platí: /, g jsou surjektivní  =>-  g o f je surjektivní.
(c)   ano — ne    Každá lineárně uspořádaná množina má největší prvek.
(d)   ano — ne    Relace p na množině A je symetrická právě tehdy, když p C p~l.
(e)   ano — ne    Je-li uspořádaná množina (A, <) úplný svaz, pak (A, >) je také úplný svaz.
(f)   ano — ne    (V(A), fl) je monoid.
(g)   ano — ne    (Z, +, •) je těleso.
2.   (7 bodů) Definujte pojem uspořádání na množině A. Definujte pojem infima a suprema podmnožiny množiny A. Definujte všechny užité pojmy. Určete, co je infimem prázdné podmnožiny.
3.   (3krát 2 body) Určete počet všech slov, která lze vytvořit z písmen slova BEROUNKA (každé písmeno se použije právě jednou) takových, že
(a)   některá skupina bezprostředně po sobě jdoucích písmen tvoří slovo BERAN;
(b)   žádné dvě samohlásky nestojí vedle sebe;
(c)   samohlásky jsou seřazeny podle abecedy.
4.   (5krát 2 body) Udejte příklad
(a)   množin laľ takových, že V(X) U Y = V (Y) - Y]
(b)   uspořádané množiny, která má právě 6 automorfismů (tj. izomorfismů do sebe);
(c)   zobrazení z množiny N do sebe, které není surjektivní a je injektivní;
(d)   relace na množině N, která je antisymetrická i symetrická;
(e)   binární operace na Z, která je komutativní, ale nemá neutrální prvek.
5.   (10 bodů) Na množině M = Q x Q definujeme binární operaci o vztahem
(a, b) o (a', b') = {aa! + 2bb', ab' + a'b), pro a, b, a', b' e Q.
Rozhodněte, zda je operace o asociativní. Rozhodněte, zda je operace o komutativní. Je (M, o) grupa? Odpovědi zdůvodněte.
6.   (10 bodů) Nechť M je konečná n-prvková množina. Určete počet všech dvojic množin (A, B), takových, že A C B C M. Kolik z nich je takových, že A ^ BI
7.   (10 bodů) Na množině Z je definována binární relace p vztahem
xpy
pro x, y E Z.
Dokažte, že p je relace ekvivalence na množině Z. Popište rozklad Z\p. Určete kolik má tento rozklad tříd a kolik prvků mají jednotlivé třídy. (Pozn: [a\ značí celou část čísla a, tj. největší celé číslo nepřevyšující číslo a.)
8.   (10 bodů) Na množině M = {(a, b) \ a, b E N, a < b} definujeme binární relaci ^ takto:
(a,b) X (a',U)  ^^  (a' <aAb<b'),      pro a, b, a', b' E N.
Dokažte, že ^ je uspořádání. Nalezněte všechny minimální a maximální prvky uspořádané množiny (M,^<). Je (M, ^) úplný svaz? Je (M, ^) svaz? Určete sup{(a, b), (a',b')} Odpovědi zdůvodněte. (Pozn: < je uspořádání přirozených čísel podle velikosti.)
9.   (10 bodů) Na množině i" = {/ : N —► N |  (Vn,m E N) (n < m   =^    f (n) < f (m))} (všech izotonních zobrazení z množiny N do sebe ) definujeme uspořádání ^ takto:
/Xg^(VneN) (f (n) <g(n)),      pro f, g el.
Dále definujme zobrazení <p : / —► / vztahem tp(f) = f ° f-
Dokažte, že skládání zobrazení je operací na množině I, tj. f,g E I =>- g o f e I. Rohodněte, zda je zobrazení <p injektivní. Rohodněte, zda je zobrazení <p surjektivni. Rohodněte, zda <p je izotonní zobrazení z uspořádané množiny (I, ^) do sebe.
Odpovědi zdůvodněte. (Pozn: < je uspořádání přirozených čísel podle velikosti.)