Základy matematiky — podzim 2005 — 2. termín — 11.1.2006
1.   (7krát ±1 bod (správně 1 bod, chybně —1, bez odpovědi 0 — při záporném součtu se do celkového hodnocení započítá 0))
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a)   ano — ne    Sjednocení dvou spočetných množin je spočetná množina.
(b)   ano — ne    Pro libovolné množiny A, B, C a zobrazení / : A —► B, g : B —► C platí: g ° f je surjektivní   =>-   f je surjektivní.
(c)   ano — ne    Na každé množině existuje relace ekvivalence, jež je zároveň uspořádáním této množiny.
(d)   ano — ne    Relace p na množině A je tranzitivní právě tehdy, když p o p <Z p.
(e)   ano — ne   Pokud (R, <) a (S, :<) jsou neprázdné uspořádané množiny, pak existuje izotonní zobrazení z (R, <) do (S, :<).
(f)   ano — ne    (V(A), U) je grupa.
(g)   ano — ne    (C, +, •) je těleso.
2.   (7 bodů) Definujte pojem binární operace na množině A. Definujte pojem grupa a homomorfismus grup. Definujte všechny užité pojmy.
3.   (3krát 2 body) Kolika způsoby lze
(a)   rozdělit 12 korunových mincí do 7 očíslovaných obálek?
(b)   rozdělit 5 různých mincí do 7 očíslovaných obálek?
(c)   vybrat 20 mincí z neomezeného množství mincí v hodnotách 1 Kč, 2 Kč, 5 Kč?
4.   (5krát 2 body) Udejte příklad
(a)   množin laľ takových, že X - Y = V(X) D V(Y);
(b)   uspořádané množiny, která má právě dva automorfismy, tři maximální a tři minimální prvky (Pozn: automorfismus je izomorfismus do sebe);
(c)   izotonního zobrazení z uspořádané množiny (N, <) do uspořádané množiny (V(N), C);
(d)   relace na množině N, která je reflexivní a není zobrazením;
(e)   binární operace na IR, která není komutativní.
5.   (10 bodů) Na množině V(N) uvažujeme operaci symetrického rozdílu -ŕ- definovanou vztahem
X + Y = (X-Y)U(Y-X),      pro X, Y C N.
Lze ukázat, že (V(N),+) je grupa (nedokazujte). Rozhodněte, zda zobrazení / : V(N) —► V(N) dané předpisem f(X) = N — X je homomorfismus z grupy (V(N),^-) do sebe. Určete neutrální prvek grupy ('P(N),^-). Odpovědi zdůvodněte.
6.   (10 bodů) Nechť M je konečná n-prvková množina. Určete počet všech rozkladů množiny M, které mají nejvýše 3 třídy rozkladu.
7.   (10 bodů) Na množině Z je definována binární relace p vztahem
xpy <í=^ 7 | (x + 6y)     pro x,y E Z.
Dokažte, že p je relace ekvivalence na množině Z. Popište rozklad Z\p. Určete kolik má tento rozklad tříd a kolik prvků mají jednotlivé třídy.
8.   (10 bodů) Nechť M je množina všech antisynietrických binárních relací na množině N. Na množině M uvažujeme relaci C. Dokažte, že C je uspořádání množiny M. Rozhodněte, zda je C lineární uspořádání. Nalezněte všechny minimální a maximální prvky uspořádané množiny (M, C). Nalezněte nejmenší a největší prvek uspořádané množiny (M, C). Je (M, C) úplný svaz? Je (M, C) svaz? Odpovědi zdůvodněte.
9.   (10 bodů) Dejte příklad zobrazení / : N —► V (N), které splňuje následující vlastnosti:
(Vx,yGN)(/(x)n/(y)^0);                                                                                   (1)
(yx,y,z eN)(f(x)n f(y)n f(z) ŕ® =^  (x = yVx = zVy = z)).                  (2)
Dokažte, že libovolné zobrazení / : N —► V (N), které splňuje vlastnosti (1), (2), je injektivní. Dokažte, že libovolné zobrazení / : N —► V (N), které splňuje vlastnosti (1), (2), není surjektivní.