Základy matematiky — podzim 2005 — 2. termín — 11.1.2006
1. (7krát ±1 bod (správně 1 bod, chybně −1, bez odpovědi 0 — při záporném součtu se do celkového hodnocení
započítá 0))
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující
tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano — ne Sjednocení dvou spočetných množin je spočetná množina.
(b) ano — ne Pro libovolné množiny A, B, C a zobrazení f : A → B, g : B → C platí:
g ◦ f je surjektivní =⇒ f je surjektivní.
(c) ano — ne Na každé množině existuje relace ekvivalence, jež je zároveň uspořádáním této
množiny.
(d) ano — ne Relace ρ na množině A je tranzitivní právě tehdy, když ρ ◦ ρ ⊆ ρ.
(e) ano — ne Pokud (R, ≤) a (S, ) jsou neprázdné uspořádané množiny, pak existuje izotonní
zobrazení z (R, ≤) do (S, ).
(f) ano — ne (P(A), ∪) je grupa.
(g) ano — ne (C, +, ·) je těleso.
2. (7 bodů) Definujte pojem binární operace na množině A. Definujte pojem grupa a homomorfismus
grup. Definujte všechny užité pojmy.
3. (3krát 2 body) Kolika způsoby lze
(a) rozdělit 12 korunových mincí do 7 očíslovaných obálek?
(b) rozdělit 5 různých mincí do 7 očíslovaných obálek?
(c) vybrat 20 mincí z neomezeného množství mincí v hodnotách 1 Kč, 2 Kč, 5 Kč?
4. (5krát 2 body) Udejte příklad
(a) množin X a Y takových, že X − Y = P(X) ∩ P(Y );
(b) uspořádané množiny, která má právě dva automorfismy, tři maximální a tři minimální prvky
(Pozn: automorfismus je izomorfismus do sebe);
(c) izotonního zobrazení z uspořádané množiny (N, ≤) do uspořádané množiny (P(N), ⊆);
(d) relace na množině N, která je reflexivní a není zobrazením;
(e) binární operace na R, která není komutativní.
5. (10 bodů) Na množině P(N) uvažujeme operaci symetrického rozdílu ÷ definovanou vztahem
X ÷ Y = (X − Y ) ∪ (Y − X), pro X, Y ⊆ N.
Lze ukázat, že (P(N), ÷) je grupa (nedokazujte). Rozhodněte, zda zobrazení f : P(N) → P(N)
dané předpisem f(X) = N − X je homomorfismus z grupy (P(N), ÷) do sebe. Určete neutrální
prvek grupy (P(N), ÷). Odpovědi zdůvodněte.
6. (10 bodů) Nechť M je konečná n-prvková množina. Určete počet všech rozkladů množiny M, které
mají nejvýše 3 třídy rozkladu.
7. (10 bodů) Na množině Z je definována binární relace ρ vztahem
xρy ⇐⇒ 7 | (x + 6y) pro x, y ∈ Z.
Dokažte, že ρ je relace ekvivalence na množině Z. Popište rozklad Z\ρ. Určete kolik má tento
rozklad tříd a kolik prvků mají jednotlivé třídy.
8. (10 bodů) Nechť M je množina všech antisymetrických binárních relací na množině N. Na množině
M uvažujeme relaci ⊆. Dokažte, že ⊆ je uspořádání množiny M. Rozhodněte, zda je ⊆ lineární
uspořádání. Nalezněte všechny minimální a maximální prvky uspořádané množiny (M, ⊆). Nalezněte
nejmenší a největší prvek uspořádané množiny (M, ⊆). Je (M, ⊆) úplný svaz? Je (M, ⊆)
svaz? Odpovědi zdůvodněte.
9. (10 bodů) Dejte příklad zobrazení f : N → P(N), které splňuje následující vlastnosti:
(∀x, y ∈ N)(f(x) ∩ f(y) = ∅); (1)
(∀x, y, z ∈ N)(f(x) ∩ f(y) ∩ f(z) = ∅ =⇒ (x = y ∨ x = z ∨ y = z)). (2)
Dokažte, že libovolné zobrazení f : N → P(N), které splňuje vlastnosti (1), (2), je injektivní.
Dokažte, že libovolné zobrazení f : N → P(N), které splňuje vlastnosti (1), (2), není surjektivní.