Základy matematiky -- podzim 2005 -- 1. opravný termín -- 18.1.2006
1. (7krát 1 bod (správně 1 bod, chybně -1, bez odpovědi 0 -- při záporném součtu se do celkového hod-
nocení započítá 0))
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá násle-
dující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano -- ne Mezi množinami N a Z existuje bijekce.
(b) ano -- ne Pro libovolné množiny A, B, C, injektivní zobrazení f : A  B a surjektivní
zobrazení g : B  C je zobrazení g  f bijekcí.
(c) ano -- ne Každá konečná uspořádaná množina má alespoň jeden minimální prvek.
(d) ano -- ne Relace  na množině A je reflexivní právě tehdy, když   -1
 .
(e) ano -- ne Je-li uspořádaná množina (A, ) úplný svaz, pak pro libovolnou podmnožinu
B  A je uspořádaná množina (B, ) také úplný svaz.
(f) ano -- ne  je neutrální prvek monoidu (P(A), ).
(g) ano -- ne zobrazení f : (R-{0})  (R-{0}) dané předpisem f(r) = |r| je homomorfismus
grupy (R - {0}, ) do sebe.
2. (7 bodů) Definujte pojem uspořádání na množině A. Definujte pojem izotonního zobrazení mezi
uspořádanými množinami a pojem izomorfismu uspořádaných množin. Definujte všechny užité po-
jmy.
3. (3krát 2 body) Určete počet všech přirozených čtyřciferných čísel
(a) sestavených z cifer 7 a 9;
(b) sestavených z cifer 0, 1, 2, 3, 4, 5 a která jsou menší než 3000;
(c) sestavených ze dvou různých lichých cifer.
4. (5krát 2 body) Udejte příklad
(a) množin X a Y takových, že |P(X) - P(Y )| = 3;
(b) uspořádané pětiprvkové množiny, která má 4 maximální a 3 minimální prvky;
(c) relace na tříprvkové množině, která není tranzitivní a současně není ani injektivní zobrazení;
(d) relace na N, která je antisymetrická, ale není tranzitivní;
(e) binární operace na P(N), která není asociativní ani komutativní
5. (10 bodů) Na množině M = Z × Z definujeme binární operaci  vztahem
(a, b)  (a
, b
) = (a + a
- 1, bb
), pro a, b, a
, b
 Z.
Rozhodněte, zda je operace  asociativní. Rozhodněte, zda je operace  komutativní. Je (M, )
grupa? Odpovědi zdůvodněte.
6. (10 bodů) Nechť M je konečná n-prvková množina. Určete počet všech trojic množin (A, B, C)
takových, že A  B  C  M. Kolik z nich je takových, že A = B? Kolik z nich je takových, že
A = C?
7. (10 bodů) Na množině ,,celých komplexních čísel M = {a + bi | a, b  Z} je definována binární
relace  vztahem
(a + bi)(a
+ b
i)  a + b = a
+ b
pro a, b, a
, b
 Z.
Dokažte, že  je relace ekvivalence na množině M. Popište rozklad M\. Určete kolik má tento
rozklad tříd a kolik prvků mají jednotlivé třídy.
8. (10 bodů) Na množině M = P(N) - {} definujeme binární relace 1, 2, 3 takto:
X1Y  (x  X)(y  Y )(x  y), pro X, Y  N;
X2Y  (x  X)(y  Y )(x = y), pro X, Y  N;
X3Y  (x  X)(y  Y )(x  y), pro X, Y  N.
Rozhodněte, zda 1, resp. 2, resp. 3 je uspořádání. Odpověď zdůvodněte. V případě kladné od-
povědi:
nalezněte všechny minimální a maximální prvky uspořádané množiny (M, i). rozhodněte zda je
(M, i) úplný svaz? (Pozn:  je uspořádání přirozených čísel podle velikosti.)
9. (10 bodů) Na množině M = {f : N  N} (všech zobrazení z množiny N do sebe) definujeme
uspořádání takto:
f g  (n  N)(f(n)  g(n)), pro f, g  M.
Dále označme E(N) množinu všech relací ekvivalence na množině N a definujme zobrazení  : M 
E(N) vztahem (f) = Jf přiřazující zobrazení f jeho jádro.
Popište nejmenší a největší prvky uspořádané množiny (M, ), resp. (E(N), ). Rohodněte, zda je
zobrazení  injektivní. Rohodněte, zda je zobrazení  surjektivní. Rohodněte, zda  je izotonní
zobrazení z uspořádané množiny (M, ) do uspořádané množiny (E(N), ).
Odpovědi zdůvodněte. (Pozn:  je uspořádání přirozených čísel podle velikosti.)