Základy matematiky — podzim 2005 — 1. opravný termín — 18.1.2006
1. (7krát ±1 bod (správně 1 bod, chybně −1, bez odpovědi 0 — při záporném součtu se do celkového hodnocení
započítá 0))
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující
tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano — ne Mezi množinami N a Z existuje bijekce.
(b) ano — ne Pro libovolné množiny A, B, C, injektivní zobrazení f : A → B a surjektivní
zobrazení g : B → C je zobrazení g ◦ f bijekcí.
(c) ano — ne Každá konečná uspořádaná množina má alespoň jeden minimální prvek.
(d) ano — ne Relace ρ na množině A je reflexivní právě tehdy, když ρ ◦ ρ−1
⊆ ρ.
(e) ano — ne Je-li uspořádaná množina (A, ≤) úplný svaz, pak pro libovolnou podmnožinu
B ⊆ A je uspořádaná množina (B, ≤) také úplný svaz.
(f) ano — ne ∅ je neutrální prvek monoidu (P(A), ∩).
(g) ano — ne zobrazení f : (R−{0}) → (R−{0}) dané předpisem f(r) = |r| je homomorfismus
grupy (R − {0}, ·) do sebe.
2. (7 bodů) Definujte pojem uspořádání na množině A. Definujte pojem izotonního zobrazení mezi
uspořádanými množinami a pojem izomorfismu uspořádaných množin. Definujte všechny užité po-
jmy.
3. (3krát 2 body) Určete počet všech přirozených čtyřciferných čísel
(a) sestavených z cifer 7 a 9;
(b) sestavených z cifer 0, 1, 2, 3, 4, 5 a která jsou menší než 3000;
(c) sestavených ze dvou různých lichých cifer.
4. (5krát 2 body) Udejte příklad
(a) množin X a Y takových, že |P(X) − P(Y )| = 3;
(b) uspořádané pětiprvkové množiny, která má 4 maximální a 3 minimální prvky;
(c) relace na tříprvkové množině, která není tranzitivní a současně není ani injektivní zobrazení;
(d) relace na N, která je antisymetrická, ale není tranzitivní;
(e) binární operace na P(N), která není asociativní ani komutativní
5. (10 bodů) Na množině M = Z × Z definujeme binární operaci ◦ vztahem
(a, b) ◦ (a′
, b′
) = (a + a′
− 1, bb′
), pro a, b, a′
, b′
∈ Z.
Rozhodněte, zda je operace ◦ asociativní. Rozhodněte, zda je operace ◦ komutativní. Je (M, ◦)
grupa? Odpovědi zdůvodněte.
6. (10 bodů) Nechť M je konečná n-prvková množina. Určete počet všech trojic množin (A, B, C)
takových, že A ⊆ B ⊆ C ⊆ M. Kolik z nich je takových, že A = B? Kolik z nich je takových, že
A = C?
7. (10 bodů) Na množině „celých komplexních čísel M = {a + bi | a, b ∈ Z} je definována binární
relace ρ vztahem
(a + bi)ρ(a′
+ b′
i) ⇐⇒ a + b = a′
+ b′
pro a, b, a′
, b′
∈ Z.
Dokažte, že ρ je relace ekvivalence na množině M. Popište rozklad M\ρ. Určete kolik má tento
rozklad tříd a kolik prvků mají jednotlivé třídy.
8. (10 bodů) Na množině M = P(N) − {∅} definujeme binární relace ρ1, ρ2, ρ3 takto:
Xρ1Y ⇐⇒ (∀x ∈ X)(∃y ∈ Y )(x ≤ y), pro X, Y ⊆ N;
Xρ2Y ⇐⇒ (∀x ∈ X)(∃y ∈ Y )(x = y), pro X, Y ⊆ N;
Xρ3Y ⇐⇒ (∀x ∈ X)(∀y ∈ Y )(x ≤ y), pro X, Y ⊆ N.
Rozhodněte, zda ρ1, resp. ρ2, resp. ρ3 je uspořádání. Odpověď zdůvodněte. V případě kladné od-
povědi:
nalezněte všechny minimální a maximální prvky uspořádané množiny (M, ρi). rozhodněte zda je
(M, ρi) úplný svaz? (Pozn: ≤ je uspořádání přirozených čísel podle velikosti.)
9. (10 bodů) Na množině M = {f : N → N} (všech zobrazení z množiny N do sebe) definujeme
uspořádání takto:
f g ⇐⇒ (∀n ∈ N)(f(n) ≤ g(n)), pro f, g ∈ M.
Dále označme E(N) množinu všech relací ekvivalence na množině N a definujme zobrazení ϕ : M →
E(N) vztahem ϕ(f) = Jf přiřazující zobrazení f jeho jádro.
Popište nejmenší a největší prvky uspořádané množiny (M, ), resp. (E(N), ⊆). Rohodněte, zda je
zobrazení ϕ injektivní. Rohodněte, zda je zobrazení ϕ surjektivní. Rohodněte, zda ϕ je izotonní
zobrazení z uspořádané množiny (M, ) do uspořádané množiny (E(N), ⊆).
Odpovědi zdůvodněte. (Pozn: ≤ je uspořádání přirozených čísel podle velikosti.)