Základy matematiky — podzim 2005 — 2. opravný termín — 25.1.2006
1.   (7krát ±1 bod (správně 1 bod, chybně —1, bez odpovědi 0 — při záporném součtu se do celkového hodnocení započítá 0))
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a)   ano — ne    Mezi množinami IR a N existuje bijekce.
(b)   ano — ne    Pro libovolné množiny A, B, C a zobrazení / : A —► B, g : B —► C platí: g o f je bijektivní  =>-  f, g jsou bijektivní.
(c)   ano — ne    Relace p na množině A je antisymetrická právě tehdy, když p n p~l = 0.
(d)   ano — ne    Má-li uspořádaná množina (A, <) nejmenší prvek, pak (A, >) má také nejmenší prvek.
(e)   ano — ne    Množina všech izotonních zobrazení uspořádané množiny (A, <) do sebe spolu s operací skládání zobrazení tvoří grupu.
(f)   ano — ne    (Z, —) je monoid.
(g)   ano — ne    Ke každému prvku grupy existuje nejvýše jeden prvek inverzí.
2.   (7 bodů) Definujte pojem rozkladu množiny A. Definujte pojem relace ekvivalence na množině A a rozklad příslušného této relaci (tzv. faktorová množina). Definujte pojem jádra zobrazení.
3.   (3krát 2 body) Určete počet všech slov délky 6, která jsou sestavena z písmen a, b, c, d takových, že
(a)   některá skupina bezprostředně po sobě jdoucích písmen je abcd;
(b)   se nezmění, pokud jsou čtena odzadu;
(c)   všechna písmena jsou použita.
4.   (5krát 2 body) Udejte příklad
(a)   množin laľ takových, že \V(X) U V(Y)\ = 5;
(b)   pětiprvkové uspořádané množiny, která má právě jeden maximální, právě jeden minimální, právě jeden největší a právě jeden nejmenší prvek;
(c)   surjektivního zobrazení / : N —► Z;
(d)   relace na množině Z, která je antisymetrická i symetrická, ale není reflexivní;
(e)   binární operace na V(N), která má neutrální prvek (uveďte ho).
5.   (10 bodů) Na množině Z definujeme binární operaci o vztahem
aob = a + b — ab, pro a,b E Z.
Rozhodněte, zda je operace o asociativní. Rozhodněte, zda je operace o komutativní. Je (Z, o) grupa? Odpovědi zdůvodněte.
6.   (10 bodů) Nechť M je konečná n-prvková množina. Určete počet všech binárních operací na množině M, pro které existuje neutrální prvek. Kolik z nich je komutativních?
7.   (10 bodů) Na množině IR je definována binární relace p vztahem
xpy -<=>- (x = y V xy > 0)     pro x, y E E.
Dokažte, že p je relace ekvivalence na množině IR. Popište rozklad M\p. Určete kolik má tento rozklad tříd a kolik prvků mají jednotlivé třídy.
8.   (10 bodů) Uvažujme množinu M = {X C N | X konečná , 1 G X} uspořádanou inkluzí C. Nalezněte všechny minimální a maximální prvky uspořádané množiny (M, C). Nalezněte nejmenší a největší prvek uspořádané množiny (M, C). Je (M, C) úplný svaz? Je (M, C) svaz? Rozhodněte, zda zobrazení g : M —► N, definované předpisem g({r\, f2,..., ru}) = r\ + r 2 + • • • + ffc, je izotonní zobrazení z uspořádané množiny (M, C) do uspořádané množiny (N, <). Odpovědi zdůvodněte. (Pozn: < je uspořádání přirozených čísel podle velikosti.)
9.   (10 bodů) Na množině S = {/ : N —► N | / surjektivní } (všech surjektivních zobrazení z množiny N do sebe ) definujeme uspořádání ^ takto:
/^^(VneN)(/(n)<3(fí)),      pro f,g G S.
Dále definujme zobrazení ip : S —► S* vztahem (/?(/) = / o /.
Dokažte, že skládání zobrazení je operací na množině S,tj. f,g E S =^- go f e S. Rohodněte, zda je zobrazení <p injektivní. Rohodněte, zda je zobrazení <p surjektivní. Rohodněte, zda <p je izotonní zobrazení z uspořádané množiny (S, ^) do sebe.
Odpovědi zdůvodněte. (Pozn: < je uspořádání přirozených čísel podle velikosti.)