Vnitrosemestrální písemka -- Základy matematiky, B, 4. 11. 2005
Jméno:
UČO:
Hodnocení
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů. Celkový součet bude zaokrouhlen na celé body. Maximum
20 bodů. Pro řešení použijte volné místo nebo druhou stranu. Na vypracování máte 90 min.
1. (2 body (za každou správnou odpověď 1/2, chybnou --1/2, bez odpovědi 0)) Odpovězte (škrtnutím
nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení:
(a) ne {0} U {{0}} = {0} n {{0}}
(b) ne {{0}} G {0} x {{0}}
(c) ano {0,{{0}},{0,{0}}}CP(P({0}))
(d) ano A = B pro libovolné neprázdné množiny A, B.
2. (5 bodů (za každou správnou odpověď 1/3, chybnou --1/3, bez odpovědi 0)) Do každého pole tabulky
doplňte ano (resp. ne), jestliže daná relace p na množině všech kladných celých čísel N splňuje
(resp. nesplňuje) příslušnou vlastnost.
a p b
a p b
a p b
a p b
a p b
2 | a + b
T < b
\a-b\ > 1
a | b2
(a + b)2
= i b2
reflexivní symetrická tranzitivní
Ano Ano Ano
Ne Ne Ano
Ne Ano Ne
Ano Ne Ne
Ne Ano Ano
(2 body) Určete kolik prvků má množina {A, A -- B, 0}.
(Pozor, odpovědi se liší v závislosti na množinách A a B.)
A = 0 -- jeden prvek
A 7^ 0, A C B -- dva prvky
A ^ 0, A n B = 0 --dva prvky
Jinak [A-B% (tj. A%B), An B ^ 0 (tedy i A ^ 0j/ -- tři prvky.
(2 body) Dokažte, že pro libovolné množiny A, B a C platí
CCA = > (A n B) U C = A n (B U C).
,,C " Pro x libovolné:
x E (A n B) U C =^>
(x e AAx e B)w x eC =>
(x e Avx eC) A(x e BVx eC) =
x e AA(X e Bwx eC) =>
x e An (B u C).
VD" Pro x libovolné:
x e An (B u C) =>
x e AA(xe Bv x eC) =>
(xeAAxeB)\/(xeAŕ\xeC) =
(x e AAxe B)v x eC =>
x e (A n B) u C.
[neboť CCA]
[neboť CCA]
5. (2 body) Nechť je dána množina A, neprázdná množina / a systém množin {A\\i E I}. Dokažte, že
potom
Ax(}Ai = (\AxAi).
iei iei
,,C " Pro x libovolné:
x e A x ^ A , =>
x = (y, z), kde y E A, z E C\iei A
í = ^
y E A A (Ví G I) (z E Ai) =>
(Vi G I)(y e AAz EAÍ) = >
(Vi G J)(x = (y, z) e A x A = >
x = (y,z) e í l Í É # x i , ) .
,,D" Pro x libovolné:
xE^iAxAi) =^
(ViEl)(xEAxAt) = >
(Vi G J)(x = (y, z) A y G A A z E Ai) = >
x = (y, z ) A y E A A (Vi G J)(z G Ai) = >
x = (y, z) A y E A A z G f^e/ A = >
2ľ = (y, Z) G A x H í g ; ^ .
6. (3 body) Nechť A, B jsou neprázdné množiny a definujme zobrazení / : V (A) x V (B) --ˇ P (A U
S) x P ( A n ß ) předpisem/((X,F)) = ( l U ľ . ľ n l ) .
Rozhodněte, zda je zobrazení / injektivní. (Odpoveď zdůvodněte.)
Ne. /((0, X)) = /((X, 0)) pro libovolné X C An B.
Rozhodněte, zda je zobrazení / surjektivní. (Odpoveď zdůvodněte.)
Ne. (0, A n B) nemá vzor.
V obou případech předpokládáme, že A n B ^ 0. Pokud by AC\ B = 0; pak je f bijekce.
7. (4 body) Buď A = {1,2,3,4}. Nalezněte: (Relace i zobrazení zadávejte výčtem prvků z množiny A x A.)
(a) dvojici relací R, S na množině A takových, že R C S, R ^ S, R je zobrazení a S* je relace,
která je tranzitivní a není reflexivní;
např. R = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1)}, S = R U {(2, 2)}
(b) injektivní zobrazení / : A --ˇ A, které není symetrickou relací;
např. / = {(1,2), (2,1), (3, 3), (4, 4)}.
(c) symetrickou relaci Ä na množině A, která není zobrazením;
např. R = 0, ne&o E = {(1,1)}, ne&o E = A x A.
(d) relaci Ä na množině A takovou, že R o R = A x A, přičemž R ^ A x A.
např. R = AxA- {(1,1)}, nebo R = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (1, 2), (1, 3), (1, 4)}.