Vnitrosemestrální písemka — Základy matematiky, B, 4. 11. 2005
Jméno: UCO:
Hodnocení						
						
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů. Celkový součet bude zaokrouhlen na celé body. Maximum 20 bodů. Pro řešení použijte volné místo nebo druhou stranu. Na vypracování máte 90 min.
1. (2 body (za každou správnou odpověď 1/2, chybnou —1/2, bez odpovědi 0)) Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení:
(a) ne   {0} U {{0}} = {0} n {{0}}
(b) ne   {{0}} G {0} x {{0}}
(c) ano {0,{{0}},{0,{0}}}CP(P({0}))
(d) ano   A® = B® pro libovolné neprázdné množiny A, B.
2. (5 bodů (za každou správnou odpověď 1/3, chybnou —1/3, bez odpovědi 0)) Do každého pole tabulky doplňte ano (resp. ne), jestliže daná relace p na množině všech kladných celých čísel N splňuje (resp. nesplňuje) příslušnou vlastnost.
			reflexivní	symetrická	tranzitivní
a p b <í=	=>    2 |	a + b	Ano	Ano	Ano
a p b <í=	=> 2a	< b	Ne	Ne	Ano
a p b <í=	=> \a	-b\>l	Ne	Ano	Ne
a p b <í=	=> a	b2	Ano	Ne	Ne
a p b <í=	=» (a	+ b)2 = a2 + b2	Ne	Ano	Ano
3. (2 body) Určete kolik prvků má množina {A, A — B, 0}. (Pozor, odpovědi se liší v závislosti na množinách A a B.) A = 0 — jeden prvek
A    0, A C B — dva prvky A ^ 0, A n B = 0 — dva prvky
Jinak [A-B 7^ 0 (tj. A    B), A n B ^ 0 (tedy i A ^ $)] — tři prvky.
4. (2 body) Dokažte, že pro libovolné množiny A, B a C platí
CCA ==> (AnB)UC = An(BUC).
[neboiC C A]
[neboiC C A]
„C' Pro x libovolné: x G (AnB) U C (xeAAxeB)\/xeC =^> (x e Avx eC) A(x e Bvx eC) xeAA(xeB\/xeC) =^> x G An (BUC).
J72>" Pro x libovolné:
x^An(BUC)
x e A a(x e B \/ x e C) =^>
(xeAAxeB)V(xeAAxeC)
(x e Aax e B)\/x e C =^> x G (AnB) U C.
5. (2 body) Nechť je dána množina A, neprázdná množina I a systém množin {At\í g I}. Dokažte, že potom
Axf]Ai = f](AxAi).
J7C " Pro x libovolné:
xeAx f)ie/ Ai ==>
x = (y, z), kde y E A, z E f]ieI A% =>
i/GÍA(VíG I)(z g Ai) ==>
(Vi g I){y eAAzeAi) ==> (Vi g I)(x = (y, z)eAxAi ==> x = (y,z) g C\i€l(A x a).
J72> " Pro x libovolné:
x g nie/(^ x a) =>
(Ví g /)(x g A x Ai)
(Vi g 7)(x = (y, z) A y g A A z g a) ==> x = (y, z) A y g A A (Vi g 7)(z g A-) ==> x = (y, z) A y g A A z g f|ie/ A ==> x = (y,z) g A x Hie/^i-
6. (3 body) Necht A, B jsou neprázdné množiny a definujme zobrazení / : V {A) x V {B) —> V (A U B) x V (A n S) předpisem /((X, F)) = (X U Y, Y n X).
Rozhodněte, zda je zobrazení / injektivní. (Odpoveď zdůvodněte.) Ne. /((0, X)) = /((X, 0)) pro libovolné X C A(~) B. Rozhodněte, zda je zobrazení / surjektivní. (Odpoveď zdůvodněte.) Ne. (0, A n B) nemá vzor.
V obou případech předpokládáme, že A n B ^ 0. Pokud by A D B = 0, paÄ; je / bijekce.
7. (4 body) Buď A = {1, 2, 3, 4}. Nalezněte: (Relace i zobrazení zadávejte výčtem prvků z množiny A x A.)
(a) dvojici relací R, S na množině A takových, že R C £*, fž 7^ 5, fž je zobrazení a 5* je relace, která je tranzitivní a není reflexivní;
např. R = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1)},S=RU {(2, 2)}
(b) injektivní zobrazení / : A —> A, které není symetrickou relací; např. f = {(1,2), (2,1), (3, 3), (4,4)}.
(c) symetrickou relaci R na množině A, která není zobrazením; např. R = 0, nebo R = {(1,1)}, nebo R = A x A.
(d) relaci R na množině A takovou, že R o R = A x A, přičemž R ^ A x A.
např. R = A x A — {(1,1)}, nebo R = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (1, 2), (1, 3), (1,4)}.