Vnitrosemestrální písemka — Základy matematiky, A, 4. 11. 2005
Jméno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hodnocení
UČO: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Na každý příklad získáte nezáporný počet bod˚u. Celkový součet bude zaokrouhlen na celé body. Maximum
20 bodů. Pro řešení použijte volné místo nebo druhou stranu. Na vypracování máte 90 min.
1. (2 body (za každou správnou odpověď 1/2, chybnou −1/2, bez odpovědi 0)) Odpovězte (škrtnutím
nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení:
(a) ne {∅} ∪ ∅ = {∅} ∩ ∅
(b) ne {{{∅}}} ∈ {∅} × {{∅}}
(c) ano {∅, {∅}, {∅, {∅}}} ⊆ P(P({∅}))
(d) ano ∅A
= ∅B
pro libovolné neprázdné množiny A, B.
2. (5 bod˚u (za každou správnou odpověď 1/3, chybnou −1/3, bez odpovědi 0)) Do každého pole tabulky
doplňte ano (resp. ne), jestliže daná relace ρ na množině všech kladných celých čísel N splňuje
(resp. nesplňuje) příslušnou vlastnost.
reflexivní symetrická tranzitivní
a ρ b ⇐⇒ 3 | a + b Ne Ano Ne
a ρ b ⇐⇒ b < 2a
Ano Ne Ne
a ρ b ⇐⇒ |a − b| ∈ {0, 1} Ano Ano Ne
a ρ b ⇐⇒ a2
| b Ne Ne Ano
a ρ b ⇐⇒ (a − b)2
= a2
+ b2
Ne Ano Ano
3. (2 body) Určete kolik prvků má množina {A, A ∩ B, ∅}.
(Pozor, odpovědi se liší v závislosti na množinách A a B.)
A = ∅ — jeden prvek
A = ∅, A ⊆ B — dva prvky
A = ∅, A ∩ B = ∅ — dva prvky
Jinak [A − B = ∅ (tj. A ⊆ B), A ∩ B = ∅ (tedy i A = ∅)] — tři prvky.
4. (2 body) Dokažte, že pro libovolné množiny A, B a C platí
A ∩ C = ∅ =⇒ (A − B) − C = A − (B − C).
„⊆ Pro x libovolné:
x ∈ (A − B) − C =⇒
x ∈ A − B ∧ x /∈ C =⇒
x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C =⇒ [neboť B − C ⊆ B]
x ∈ A ∧ x /∈ B − C =⇒
x ∈ A − (B − C). [Předpoklad A ∩ C se nikde nepoužil.]
„⊇ Pro x libovolné:
x ∈ A − (B − C) =⇒
x ∈ A ∧ x /∈ B − C =⇒
x ∈ A ∧ (x ∈ B ∩ C ∨ x /∈ B ∪ C) =⇒
(x ∈ A ∧ x ∈ B ∩ C) ∨ (x ∈ A ∧ x /∈ B ∪ C) =⇒
(x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∈ C) ∨ (x ∈ A ∧ x /∈ Bx /∈ C) =⇒ [neboť A ∩ C = ∅ první možnost nenastane]
x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C =⇒
x ∈ A − B ∧ x /∈ C =⇒
x ∈ (A − B) − C.
5. (2 body) Nechť je dána množina A, neprázdná množina I a systém množin {Ai|i ∈ I}. Dokažte, že
potom
A −
i∈I
Ai =
i∈I
(A − Ai).
„⊆ Pro x libovolné:
x ∈ A − i∈I Ai =⇒
x ∈ A ∧ x /∈ i∈I Ai =⇒
x ∈ A ∧ (∀i ∈ I)(x /∈ Ai) =⇒
(∀i ∈ I)(x ∈ A ∧ x /∈ Ai) =⇒
(∀i ∈ I)(x ∈ A − Ai) =⇒
x ∈ i∈I(A − Ai).
„⊇ Veškeré implikace v předchozím platí i v opačném směru.
6. (3 body) Nechť A, B jsou neprázdné množiny a definujme zobrazení f : P(A) × P(B) → P(A) ×
P(B) předpisem f((X, Y )) = (X − Y, Y − X).
Rozhodněte, zda je zobrazení f injektivní. (Odpoveď zdůvodněte.)
Ne. f((X, X)) = f((∅, ∅)) pro libovolné X ⊆ A ∩ B.
Rozhodněte, zda je zobrazení f surjektivní. (Odpoveď zdůvodněte.)
Ne. (A, B) nemá vzor, protože vždy (X − Y ) ∩ (Y − X) = ∅.
V obou případech předpokládáme, že A∩B = ∅. Pokud by A∩B = ∅, pak f identita a tedy bijekce.
7. (4 body) Buď A = {1, 2, 3, 4}. Nalezněte: (Relace i zobrazení zadávejte výčtem prvků z množiny A×A.)
(a) dvojici relací R, S na množině A takových, že R ⊆ S, R = S, R je surjektivní zobrazení a S
je relace, která je symetrická a není reflexivní;
např. R = {(1, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 3)}, S = R ∪ {(3, 3)}
(b) zobrazení f : A → A takové, že f ◦ f = f a f ◦ f ◦ f = f;
např. f = {(1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)}.
(c) zobrazení f : A → A takové, že f je tranzitivní relací a současně není symetrickou relací;
např. f = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)}.
(d) relaci R na množině A takovou, že R−1
◦ R = A × A, přičemž R je zároveň i zobrazení.
např. R = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)}.