Vnitrosemestrální písemka — Základy matematiky, A, 4. 11. 2005
Jméno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hodnocení
UČO: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Na každý příklad získáte nezáporný počet bod˚u. Celkový součet bude zaokrouhlen na celé body. Maximum
20 bodů. Pro řešení použijte volné místo nebo druhou stranu. Na vypracování máte 90 min.
1. (2 body (za každou správnou odpověď 1/2, chybnou −1/2, bez odpovědi 0)) Odpovězte (škrtnutím
nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení:
(a) ano — ne {∅} ∪ ∅ = {∅} ∩ ∅
(b) ano — ne {{{∅}}} ∈ {∅} × {{∅}}
(c) ano — ne {∅, {∅}, {∅, {∅}}} ⊆ P(P({∅}))
(d) ano — ne ∅A
= ∅B
pro libovolné neprázdné množiny A, B.
2. (5 bod˚u (za každou správnou odpověď 1/3, chybnou −1/3, bez odpovědi 0)) Do každého pole tabulky
doplňte ano (resp. ne), jestliže daná relace ρ na množině všech kladných celých čísel N splňuje
(resp. nesplňuje) příslušnou vlastnost.
reflexivní symetrická tranzitivní
a ρ b ⇐⇒ 3 | a + b
a ρ b ⇐⇒ b < 2a
a ρ b ⇐⇒ |a − b| ∈ {0, 1}
a ρ b ⇐⇒ a2
| b
a ρ b ⇐⇒ (a − b)2
= a2
+ b2
3. (2 body) Určete kolik prvků má množina {A, A ∩ B, ∅}.
(Pozor, odpovědi se liší v závislosti na množinách A a B.)
4. (2 body) Dokažte, že pro libovolné množiny A, B a C platí
A ∩ C = ∅ =⇒ (A − B) − C = A − (B − C).
5. (2 body) Nechť je dána množina A, neprázdná množina I a systém množin {Ai|i ∈ I}. Dokažte, že
potom
A −
i∈I
Ai =
i∈I
(A − Ai).
6. (3 body) Nechť A, B jsou neprázdné množiny a definujme zobrazení f : P(A) × P(B) → P(A) ×
P(B) předpisem f((X, Y )) = (X − Y, Y − X).
Rozhodněte, zda je zobrazení f injektivní. (Odpoveď zdůvodněte.)
Rozhodněte, zda je zobrazení f surjektivní. (Odpoveď zdůvodněte.)
7. (4 body) Buď A = {1, 2, 3, 4}. Nalezněte: (Relace i zobrazení zadávejte výčtem prvků z množiny A×A.)
(a) dvojici relací R, S na množině A takových, že R ⊆ S, R = S, R je surjektivní zobrazení a S
je relace, která je symetrická a není reflexivní;
(b) zobrazení f : A → A takové, že f ◦ f = f a f ◦ f ◦ f = f;
(c) zobrazení f : A → A takové, že f je tranzitivní relací a současně není symetrickou relací;
(d) relaci R na množině A takovou, že R−1
◦ R = A × A, přičemž R je zároveň i zobrazení.