Algebraické struktury Grupy Pro danou množinu G je binární operace na množině G zobrazení f : G × G G. Binární operaci budeme obvykle značit symbolem (další používané symboly jsou +, ) a psát ,,infixově místo ,,prefixově , tj. budeme psát a b místo (a, b), nebo dokonce pouze ab. Příklady binárních operací jsou sčítání, odčítání, násobení na množinách Z, Q, R, C. Pro dané n N0 hovoříme obecněji o n-ární operaci f : Gn G; toto n se nazývá arita operace f. Obvykle se f nazývá operace, místo přesnějšího n-ární operace, zvláště pokud je arita známá z kontextu. Pro konečnou množinu G lze každou binární operaci zadat tabulkou (tzv. multiplikativní tabulka ope- race), kde do políčka obsaženého v řádku označeném prvkem a a v slopci označeném prvkem b píšeme prvek a b G. Operace na množině G se nazývá komutativní pokud platí (a, b G)( a b = b a ), nazývá se asociativní pokud (a, b, c G)( (a b) c = a (b c) ). Poznamenejme, že pro asociativní operaci píšeme součiny více prvků a1 a2 a3 an bez závorek, neboť výsledek je vždy stejný prvek jakkoli jsou v součinu prvky ,,uzávorkovány . Prvek e G se nazývá neutrální, pokud (a G)( a e = e a = a ). Neutrální prvek je vždy nejvýše jeden a obvykle se značí 1, případně 1G. Dvojice (G, ) se nazývá monoid, pokud je asociativní operace na množině G taková, že existuje neutrální prvek 1 G. Příkladem monoidu je (AA , ), kde AA je množina všech zobrazení z množiny A do sebe a je skládání zobrazení, neutrální prvek v (AA , ) je identické zobrazení. Dalším příkladem monoidu je (A , ), kde A je množina všech slov nad abecedou A a je operace zřetězení; neutrální prvek v (A , ) je prázdné slovo. Pro prvek a monoidu (G, ) říkáme, že prvek b je k němu inverzní pokud a b = b a = 1. Pokud inverzní prvek (pro dané a) existuje, je určen jednoznačně a obvykle se značí a-1 . V tom případě říkáme, že prvek a je invertibilní. Všimněme si, že pokud prvek a je invertibilní, pak a-1 je také invertibilní, protože inverzní prvek k prvku a-1 je prvek a, tj. (a-1 )-1 = a. Monoid kde je každý prvek invertibilní se nazývá grupa. Pokud je navíc operace komutativní, hovoříme o komutativní grupě. Příklady grup: (Z, +), (C, +), (Q - {0}, ), (S(A), ) -- množina všech bijekcí z množiny A do sebe s operací skládání zobrazení . Některé z těchto grup lze obdržet následující konstrukcí: Věta Buď (G, ) monoid a G označme množinu všech invertibilních prvků z G. Pak (G , ) je grupa. (Přesněji (G , |G×G ), kde |G×G je zúžení zobrazení : G × G G na množinu G × G .) V předchozích příkladach Q - {0} = Q , S(A) = (AA ) . Grupa zbytkových tříd Pro pevně zvolené přirozené číslo n N je relace definovaná vztahy ab a b ( mod n) n | a - b a, b dávají stejný zbytek po dělení n relací ekvivalence na množině Z. Příslušný rozklad Z\ se značí Zn a jednotlivé prvky a se nazývají zbytkové třídy (modulo n) a označují [a]n. Tedy [a]n = {a + kn | k Z} a rozklad Zn = {[a]n | a Z} má n prvků. Vztahy [a]n + [b]n = [a + b]n a [a]n [b]n = [a b]n korektně definují operace + a na množině Zn, přičemž (Zn, +) je komutativní grupa a (Zn, ) grupa není. Všimněme si, že na přiřazení inverzního prvku lze nahlížet jako na unární (1-ární) operaci, tj. -1 : G G, a a-1 a podobně výběr neutrálního prvku 1 je 0-ární operace (1 : G0 G, 1, kde G0 = {}). V grupách lze také definovat libovolné celočíselné mocniny: pro grupu G a její prvek a definujeme pro libovolné přirozené číslo n mocninu an jako součin n kopií prvku a, dále a0 klademe rovno neutrálnímu prvku 1 a pro záporné celé číslo n pak definujeme an = (a-1 )-n , tj. součin -n kopií prvku a-1 . Lze ukázat, že všeobecně známé vztahy an am = an+m a (an )m = anm platí v libovolné grupě. Podgrupy Podmnožina K grupy (G, ) se nazývá podgrupa, pokud je uzavřena na operace , 1,-1 , přesněji, pokud platí následující podmínky (a, b K)( a b K ) (1 K) (a K)( a-1 K ). Např: Z, Q, R jsou podgrupy grupy (C, +). Pro libovolnou grupu (G, ) jsou G i {1} podrupy (tzv. trivi- ální). V grupě (Z, +) jsou podgrupy právě množiny nZ = {nk | k Z} pro libovolné n N0 -- pro n = 0 a n = 1 dostáváme triviální podgrupy. Poznamenejme, že průnik libovolného neprázdného systému podgrup dané grupy G je opět podgrupou grupy G. Proto systém všech podgrup grupy G, uspořádaný inkluzí, tvoří úplný svaz. Homomorfismy a součiny grup Zobrazení f : G H se nazývá homomorfismus z grupy (G, ) do grupy (H, ) pokud platí: (a, b G)( f(a b) = f(a) f(b) ). Lze dokázat, že potom taktéž platí f(1G) = 1H a pro libovolné a G platí f(a-1 ) = f(a)-1 (pozor, zde se inverze počítají v odlišných grupách). Bijektivním homomorfismům říkáme izomorfismy a dvě grupy jsou izomorfní pokud existuje izomorfismus mezi nimi. (Neformálně lze říci, že dvě grupy jsou izomorfní jestliže jsou stejné až na přejmenování prvků.) Příklady: pro libovolné n N jsou zobrazení f : Z Z, f(a) = na, respektive g : Z Zn, g(a) = [a]n homomorfismy z grupy (Z, +) do sebe, repektive do grupy (Zn, +). Zobrazení log : R+ R je izomorfismus grupy (R+ , ) všech kladných reálných čísel s násobením do grupy (R, +) všech reálných čísel se sčítáním. Uvažujme monoid (Z7, ) a v něm podmnožinu invertibilních prvků Z 7 = Z7 - {[0]7}. Potom zobrazení f : Z6 Z 7 dané předpisem f([a]6) = [3]a 7 je izomorfismus grup. Poznamenejme, že ne vždy podobný předpis korektně definuje zobrazení. Zde například je definice zobrazení korektní: pokud [a]6 = [b]6, pak existuje k Z tak, že a = b+6k a proto [3]a 7 = [3]b+6k 7 = [3]b 7 ([3]6 7)k = [3]b 7 [1]k 7 = [3]b 7, tedy obraz prvku [a]6 nezávisí na volbě reprezentanta v třídě [a]6. Naopak, předpis f : Z5 Z 7, f([a]5) = [3]a 7 nedefinuje korektně zobrazení, protože [1]5 = [6]5, přičemž [3]1 7 = [3]7 = [1]7 = [3]6 7 a není tedy jednoznačně určen obraz prvku [1]5 = [6]5. Připomeňme, že stejným způsobem se ověřuje korektnost definice sčítání a násobení na Zn, tj. [a]n = [c]n, [b]n = [d]n = [a + b]n = [c + d]n, [a b]n = [c d]n. Pro libovolnou grupu (G, ) je identické zobrazení izomorfismus a zobrazení definované předpisem f(a) = 1H, pro libovolné a G, homomorfismus do libovolné grupy (H, ). Jádro homomorfismu f : G H je množina Ker(f) = {a G | f(a) = 1H}. (Pozor, připomeňme, že jádro zobrazení je relace na množině G, kdežto jádro homomorfismu grup je podmnožina G. Snadno se nahlédne, že (a, b) Jf f(a) = f(b) f(ab-1 ) = 1H ab-1 Ker(f), což vysvětluje, proč se v teorii grup pracuje s Ker(f), neboť relace Jf je touto množinou již plnně popsána.) Jádro je podgrupa grupy G. Obraz homomorfismu f : G H je množina Im(f) = {f(a) | a G}. Obraz je podgrupa grupy H. Součin grup (G, ) a (H, ) je množina G × H společně s operací definovanou předpisem (a, b) (c, d) = (a c, b d) pro a, c G, b, d H. Poznamenejme, že zobrazení projekce p1 : G × H G, p1((a, b)) = a je homomorfismus grup. Grupy G × H a H × G jsou izomorfní Grupa komplexních čísel (C, +) je izomorfní grupě (R, +) × (R, +). Grupa (R , ) je izomorfní grupě ({1, -1}, ) × (R+ , ). V elementární teori grup lze například ukázat, že počet prvků konečné grupy je násobkem počtu prvků libovolné její podgrupy. Dále lze ukázat, že libovolná konečná komutativní grupa je izomorfní jistému součinu grup Zni . Tyto poznatky jsou obsahem kurzu Algebra I. Okruhy Množina R spolu s dvěmi operacemi + a se nazývá okruh pokud (R, +) je komutativní grupa, (R, ) je monoid a pro operace + a platí tzv. distributivní zákony, tj. platí (a, b, c, R)( a (b + c) = a b + a c (b + c) a = b a + c a ). Příklady okruhů jsou (Z, +, ), (C, +, ), dále okruhy čtvercových matic n×n nad daným okruhem (např. Z) a také okruhy polynomů nad daným okruhem (např. R). Pro libovolné přirozené číslo n je (Zn, +, ) okruh. Abychom odlišili dvě operace, užíváme pro první z nich výhradně aditivní notaci (tj. symbol +, neutrální prvek 0, inverze -) a pro druhý notaci multiplikativní (tj. symbol , neutrální prvek 1, případná inverze -1 ). Pokud je operace komutativní, hovoříme o komutativním okruhu. Pokud má okruh pouze jeden prvek, pak hovoříme o triviálním okruhu. V opačném případě se jedná o okruh netriviální. Poznamenejme, že v netriviálním okruhu vždy 0 = 1. Lze ukázat, že prvek 0 je tzv. nulový prvek vzhledem k násobení, tj. 0 a = a 0 = 0 pro libovolné a R a proto neexistuje k prvku 0 prvek inverzní. Netriviální komutativní okruh, kde ke každému nenulovému prvku existuje inverze vzhledem k násobení se nazývá těleso. Okruhy (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) jsou tělesy. Okruh (Z, +, ) těleso není. Okruh (Zn, +, ) je těleso právě tehdy, když n je prvočíslo. Netriviální komutativní okruh (R, +, ) se nazývá obor integrity, pokud pro libovolné nenulové prvky a, b R platí a b = 0. Každé těleso je oborem integrity. Naopak lze dokázat, že každý konečný obor integrity je těleso. Příklady oborů integrity, které nejsou tělesy jsou (Z, +, ), nebo okruhy polynomů nad obory integrity. Podokruhy a homomorfismy okruhů Podmnožina M okruhu (R, +, ) se nazývá podokruh pokud je uzavřena na všechny operace, přesněji pokud platí (a, b M)( a + b, 0, -a, a b, 1 M ). Všimněme si, že podokruh okruhu je opět okruhem, podokruh oboru integrity je obor integrity, ale podokruh tělesa nemusí být těleso. Důležité příklady okruhů tedy vznikají jako podokruhy okruhu (C, +, ). Například podokruh Gaussových celých čísel Z[i] = {a + bi | a, b Z} nebo podokruh Z[ -3] = {a + b 3i | a, b Z} či podokruh okruhu reálných čísel Z[ 3] = {a + b 3 | a, b Z}. Zobrazení f : R S se nazývá homomorfismus okruhů (R, +, ) a (S, +, ) pokud platí: (a, b R)( f(a + b) = f(a) + f(b) ) (a, b G)( f(a b) = f(a) f(b) ) f(1R) = 1S. Bijektivním homomorfismům říkáme izomorfismy a dva okruhy jsou izomorfní pokud existuje izomorfismus mezi nimi. Příkladem homomorfismu je komplexní konjugovanost, tj. f : C C, f(a + bi) = a - bi je izomorfismus okruhu (C, +, ) na sebe. Dále g : Z Zn, g(a) = [a]n je homomorfismus okruhu (Z, +, ) do okruhu (Zn, +, ). Jádro homomorfismu se definuje podobně jako pro grupy: Ker(f) = {a R | f(a) = 0}.