Základy matematiky — podzim 2003 — 1. termín — 8.1.2004
Jméno:.............................
UČO: .............................
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů.
Hodnocení												
												
												
(a)	ano —	ne
(b)	ano —	ne
(c)	ano —	ne
(d)	ano —	ne
	množiny.	
(e)	ano —	ne
(f)	ano —	ne
(g)	ano —	ne
(h)	ano —	ne
(8krát ±1 bod (správně 1 bod, chybně -1, bez odpovědi 0)) Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
Složení reflexivních relací je reflexivní relace.
(R,+,+) je okruh.
Množiny N a Z mají stejnou mohutnost. Maximální prvek uspořádané množiny je minimální prvek duálně uspořádané
Každý úplný svaz má nejmenší a největší prvek.
Každá dvě injektivní zobrazení / : A —>■ B, g : A —>■ C mají stejné jádro. Složení izotonních zobrazení je izotonní zobrazení. V (Z5, •) má každý prvek inverzi.
(7 bodů) Definujte pojem relace mezi množinami A, B. Pomocí něj definujte formálně pojem zobrazení z množiny A do množiny B. Definujte operace skládání zobrazení a skládání relací, která je jejím zobecněním.
(5krát 2 body) Udejte příklad
(a) spočetného tělesa;
(b) surjektivního zobrazení / : N —>■ N takového, že /, / o /, / o / o /,... jsou po dvou různá zobrazení;
(c) uspořádání R na množině N a relace ekvivalence S na množině N takových, že i? C 5;
(d) systému množin A takového, že |J A = f] A = N;
(e) množiny X takové, že množina V(X) n X má dva prvky.
-x + y pro x, y E Z. Rozhodněte,
(10 bodů) Na množině Z definujeme operaci o vztahem xoy zda (Z, o) je grupa. Odpověď zdůvodněte.
xy-
(10 bodů) Nechť množina A má 10 prvků. Uvažujme její čtyřprvkové podmnožiny B a C, které
jsou disjunktní. Kolik existuje takových (uspořádaných) dvojic (B,C)?
(Tj. určete počet prvků množiny {{B,C) | B C A, C C A, \B\ = \C\ = 4, B n C = 0}.)
(10 bodů) Na množině R je definována relace p vztahem xpy <í=> x — y E Z. Dokažte, že p je relace ekvialence na množině R a popište rozklad R\p. Kolik má tento rozklad prvků?
(10 bodů) Na množině R definujeme relaci ^ takto:
x <y (3c) (0<c<l A x • c
v)-
Dokažte, že ^ je uspořádání. Naznačte hasseovský diagram uspořádané množiny všechny minimální a maximální prvky uspořádané množiny (R, ^).
^). Nalezněte
8. (10 bodů) Uvažujme uspořádanou množinu (£(N), C), kde £(N) je množina všech relací ekvivalence na množině N. Jedná se o úplný svaz? (Zdůvodněte.) Mějme zobrazení / : £(N) —>■ "P(N), které relaci ekvivalence p E £ (N) přiřazuje třídu rozkladu ~N\p obsahující číslo 1. Rozhodněte, zda zobrazení / : (£(N), C) —>■ ("P(N), C) je izotonní. Rozhodněte, zda zobrazení / je injektivní resp. surjektivní.