Základy matematiky — podzim 2003 — 2. termín
Jméno:.............................
UČO: .............................
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů.
15.1.2004
Hodnocení												
												
												
1. (8krát ±1 bod (správne 1 bod, chybně -1, bez odpovědi 0)) Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano — ne   Každá uspořádaná množina obsahuje maximální a minimální prvky.
(b) ano — ne   Jeli / : G —>■ H izomorfizmus grup, pak /_1 : H —>■ G je také izomorfizmus grup.
(c) ano — ne  Pokud (R, <) a (5, ^) jsou neprázdné uspořádané množiny, pak existuje izotonní zobrazení z (R, <) do (5, ^).
(d) ano — ne   Každá podmnožina spočetné množiny je buď konečná nebo spočetná.
(e) ano — ne   Je-li g : A —>■ B injektivní zobrazení a / : B —>■ C surjektivní zobrazení, pak / o g : A —>■ C je surjektivní zobrazení.
(f) ano — ne   Pro každou množinu A platí, že prázdná relace (tj. 0 E V (A x A)) je reflexivní.
(g) ano — ne   Sjednocení dvou relací ekvivalence je relace ekvivalence.
(h) ano — ne   Množina všech zobrazení z množiny A do sebe s operací skládání zobrazení je grupa.
2. (7 bodů) Definujte pojem uspořádání na množině A. Kdy je uspořádání lineární? Definujte minimální a nej menší prvek. (Veškeré vlastnosti zapište formulí.)
3. (5krát 2 body) Udejte příklad
(a) uspořádané množiny, která má právě 4 maximální a 3 minimální prvky (zadejte ji Hasseovským diagramem);
(b) relace na dvouprvkové množině {a, b}, která není tranzitivní;
(c) monoidu a jeho podmnožiny, která je grupou (se stejnou operací);
(d) množin X a Y takových, že \V(X) U V(Y) \ = 8;
(e) tříprvkové množiny A takové, že |J A je dvouprvková množina.
4. (10 bodů) Rozhodnete, zda zobrazení / : C —>■ C dané (pro a, b E R) předpisem f (a + bi) = a — bi je homomorfismus z okruhu (C, + , •) do okruhu (C, + , •).
5. (10 bodů) Kolik je rozkladů n-prvkové množiny, které mají právě dvě třídy?
6. (10 bodů) Na množině R x R je definována relace p vztahem (x\, a;2)p(ž/i, 2/2) (^í)2 = illi)2-Dokažte, že p je relace ekvivalence na množině R x R a popište rozklad R x R\p. Kolik má tento rozklad prvků?
7. (10 bodů) Definujme relaci ^ na množině N takto:
x di y x = y\/y —x>2.
Dokažte, že ^ je uspořádání na N. Naznačte Hasseovský diagram uspořádané množiny (N, ^). Popište minimální a maximální prvky (N, ^). Rozhodněte, zda má libovolná konečná podmnožina v (N, ^) supremum.
8. (10 bodů) Uvažujme uspořádanou množinu (W(N), C), kde U(N) je množina všech uspořádání na množině N. Jedná se o úplný svaz? Popište minimální a maximální prvky v uspořádané množině (W(N),C). Mějme zobrazení / : U(N) —>■ "P(N) definované tak, že pro uspořádání R E U (N) je f {R) množina všech maximálních prvků v (N, i?). Rozhodněte, zda je zobrazení / : (U (N), C) —>■ 0P(N),C) izotonní.