Jméno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hodnocení
UČO: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Na každý příklad získáte nezáporný počet bod˚u.
1. (8krát ±1 bod (správně 1 bod, chybně −1, bez odpovědi 0)) Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano
nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano — ne Každá uspořádaná množina má nejvýše jeden nejmenší prvek.
(b) ano — ne (Z3, +, ·) je těleso.
(c) ano — ne Každá symetrická relace na dvouprvkové množině je tranzitivní.
(d) ano — ne Množina všech komplexních čísel C je spočetná.
(e) ano — ne Pokud v dané uspořádané množině existuje supremum prázdné množiny, pak je
rovno nejmenšímu prvku.
(f) ano — ne Pro relaci ekvivalence R na množině A je projekce z A na faktorovou množinu
A\R surjektivní zobrazení.
(g) ano — ne Množina všech bijekcí z množiny A na sebe s operací skládání zobrazení je grupa.
(h) ano — ne Složení dvou injektivních zobrazení je injektivní zobrazení.
2. (7 bodů) Definujte pojmy „bijekce , „mít stejnou mohutnost a zformulujte Cantorovu větu. Definujte
všechny potřebné pojmy.
3. (5krát 2 body) Udejte příklad:
(a) uspořádané množiny, která má prvek r takový, že r není maximální, minimální, největší ani
nejmenší (zadejte ji Hasseovským diagramem a vyznačte prvek r);
(b) injektivního zobrazení f : N → N, které není reflexivní relací;
(c) grupy (G, ·) takové, že (∀g ∈ G)(g−1
= g);
(d) množin X a Y takových, že |P(X) − P(Y )| = 7;
(e) konečné množiny A takové, že A je nekonečná množina.
4. (10 bodů) Na množině M = {r ∈ R | r > −2} definujeme operaci ◦ vztahem x◦y = xy+2x+2y+2
pro x, y ∈ M. Dokažte, že ◦ je skutečně operace na množině M (tj. x, y ∈ M =⇒ x ◦ y ∈ M).
Dále rozhodněte, zda (M, ◦) je grupa. Odpověď zdůvodněte.
5. (10 bodů) Nechť množina A má 10 prvků. Uvažujme její pětiprvkové podmnožiny B a C, které
nejsou vzájemně disjunktní. Kolik existuje takových (uspořádaných) dvojic (B, C)?
(Tj. určete počet prvků množiny {(B, C) | B ⊆ A, C ⊆ A, |B| = |C| = 5, B ∩ C = ∅}.)
6. (10 bodů) Na množině N je definována relace ρ vztahem xρy ⇐⇒ 16|x − y. Dokažte, že ρ je relace
ekvivalence na N, a popište rozklad N\ρ. Kolik má tento rozklad prvků?
7. (10 bodů) Uvažujme uspořádanou množinu (P(P(N)), ⊆). Jedná se o úplný svaz? Popište nejmenší
a největší prvek. Mějme zobrazení f : P(P(N)) → P(N) dané vztahem f(A) = A. Rozhodněte,
zda je zobrazení f : (P(P(N)), ⊆) → (P(N), ⊆) izotonní. Odpověď zdůvodněte.
8. (10 bodů) Nechť je libovolné uspořádání množiny N. Definujme nyní na N relaci R pro x, y ∈ N
takto:
(x, y) ∈ R ⇐⇒ (∃n ∈ N)(x yn
∧ y xn
).
Dokažte, že pokud za zvolíme relaci dělitelnosti |, je výsledná relace R| ekvivalence. Dejte příklad
uspořádání na N pro niž R není relace ekvivalence.