Jméno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hodnocení
UČO: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Na každý příklad získáte nezáporný počet bod˚u.
1. (8krát ±1 bod (správně 1 bod, chybně −1, bez odpovědi 0)) Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano
nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano — ne Každá konečná uspořádaná množina obsahuje alespoň jeden maximální prvek.
(b) ano — ne Pro livobolnou množinu A existuje bijekce z množiny A do množiny P(A).
(c) ano — ne Průnik dvou relací ekvivalence na množině A je relace ekvivalence.
(d) ano — ne Každé těleso je komutativní okruh.
(e) ano — ne Složení dvou surjektivních zobrazení je surjektivní zobrazení.
(f) ano — ne (Z3, +, +) je okruh
(g) ano — ne Každá symetrická relace na dvouprvkové množině je tranzitivní.
(h) ano — ne Existuje úplný svaz, který má dva různé minimální prvky.
2. (7 bodů) Definujte pojem relace ekvivalence na množině A a jádro zobrazení. Zformulujte větu
popisující jejich vzájemný vztah. (Jádro zobrazení není totéž co jádro homomorfismu.)
3. (5krát 2 body) Udejte příklad:
(a) uspořádané množiny, která má prvek r takový, že r je maximální, minimální, největší i nejmenší
zároveň (zadejte ji Hasseovským diagramem a vyznačte prvek r);
(b) uspořádání dvouprvkové množiny {a, b}, které je zároveň symetrickou relací;
(c) komutativního monoidu, který není grupou;
(d) množiny X takové, že P(P(X)) je dvouprvková množina;
(e) tříprvkové množiny A takové, že A = N.
4. (10 bodů) Na množině M = Q − {−1} definujeme operaci ◦ vztahem x ◦ y = xy + x + y pro
x, y ∈ M. Lze ukázat, že (M, ◦) je grupa (nedokazujte). Označme dále Q∗
= Q − {0}. Rozhodněte,
zda zobrazení f : Q∗
→ M dané předpisem f(a) = a−1 je homomorfismus z grupy (Q∗
, ·) do grupy
(M, ◦), kde · je násobení nenulových racionálních čísel. Určete neutrální prvek grupy (M, ◦).
5. (10 bodů) Kolik existuje šestiprvkových podmnožin dvanactiprvkové množiny {1, 2, . . ., 12}, které
obsahují více sudých čísel než lichých.
6. (10 bodů) Na množině Z je definována relace ρ vztahem xρy ⇐⇒ x2
= y2
. Dokažte, že ρ je relace
ekvivalence na Z, a popište rozklad Z\ρ. Určete kolik má tento rozklad tříd a kolik mají jednotlivé
třídy prvků.
7. (10 bodů) Uvažujme uspořádanou množinu (Pf (N), ⊆), kde Pf (N) je množina všech konečných
podmnožin množiny N. Jedná se o úplný svaz? Mějme zobrazení g : Pf (N) → N definované tak,
že g(A) je největší prvek v A vzhledem k uspořádání dle velikosti ≤. Rozhodněte, zda je zobrazení
g : (Pf (N), ⊆) → (N, ≤) izotonní.
8. (10 bodů) Nechť X je neprázdná konečná množina. Pro libovolnou relaci ρ na množině X (tj.
ρ ∈ P(X × X)) značíme množinu vzorů resp. obrazů takto:
Dom(ρ) = {x ∈ X | ∃y ∈ X : xρy}, Im(ρ) = {y ∈ X | ∃x ∈ X : xρy}.
Dokažte, že zobrazení f : P(X ×X) → P(X) dané předpisem f(ρ) = Dom(ρ)∩Im(ρ) je surjektivní.
Rozhodněte, pro které množiny X je zobrazení f bijekce.