Základy matematiky — podzim 2004 — 1. termín — 6.1.2005
1.   (8krát ±1 bod (správně 1 bod, chybně —1, bez odpovědi 0)) Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a)   ano — ne    Každá podmnožina množiny E je buď konečná nebo spočetná.
(b)   ano — ne    Jádro zobrazení / : A —► B je symetrická relace na množině A.
(c)   ano — ne    Pro libovolnou binární relaci R na neprázdné množině A a pro každé dva prvky a, b E A platí právě jeden ze vztahů aRb, aR~lb.
(d)   ano — ne     Pro libovolné uspořádané množiny (A, <), (B, <), (C, <) a zobrazení / : A —► B, g : B —► C platí:           g o / je izotonní  ==>-   f je izotonní.
(e)   ano — ne    Je-li R uspořádání množiny A, pak R n R~l je též uspořádání množiny A.
(f)   ano — ne   Je-li uspořádaná množina (A, <) úplný svaz, pak (A, >) je také úplný svaz.
(g)   ano — ne    Prázdná množina je podgrupou každé grupy.
(h) ano — ne    Okruh (Z6, +, •) zbytkových tříd modulo 6 je obor integrity.
2.   (7 bodů) Definujte pojem relace ekvivalence na množině A a rozklad množiny A podle relace ekvivalence. Zkonstruujte, pomocí těchto pojmů, množinu racionálních čísel Q z množiny celých čísel Z. (Pouze množinu Q, definice operací se nepožadují.)
3.   (5krát 2 body) Udejte příklad
(a)   množin laľ takových, že | V(X) D V (Y) \= 2;
(b)   izotonního zobrazení / : (N, <) —► (N, <), které není injektivní (zde < je uspořádaní podle velikosti);
(c)   uspořádané množiny, která má maximální prvek, nemá největší prvek a nemá minimální prvek;
(d)   binární relace na tří prvkové množině A = {1, 2, 3}, která je reflexivní a není tranzitivní;
(e)   binární operace na množině Z která je asociativní, ale nemá neutrální prvek.
4.   (10 bodů) Buď E+ množina všech kladných reálných čísel. Na množině M = E+ x E+ x E+ definujeme binární operaci o vztahem (a, b, c) o (a', b', d) = (aď, ab' + bc', cd), pro a, b, c, a', b', d E E+. Rozhodněte, zda je operace o asociativní. Rozhodněte, zda je operace o komutativní. Je (M, o) grupa? Odpovědi zdůvodněte.
5.   (10 bodů) Nechť konečná množina A má n prvků, kde n E N, n > 3. Určete kolik je rozkladů množiny A, které mají alespoň n — 2 tříd rozkladu.
6.   (10 bodů) Na množině E je definována binární relace p vztahem xpy <í=^ (x + y = xy V x = y) pro x, y E E. Dokažte, že p je relace ekvivalence na množině E. Popište rozklad E\p. Určete kolik má tento rozklad tříd a kolik prvků mají jednotlivé třídy.
7.   (10 bodů) Na množině Q definujeme binární relaci ^ takto: x < y <í=^ (3k E N) (y = k ■ x), pro x,y E Q. Dokažte, že ^ je uspořádání. Nalezněte všechny minimální a maximální prvky uspořádané množiny (Q, ^). Je (Q, ^) úplný svaz? Je identické zobrazení idq : Q —► Q izotonní zobrazení z (Q, ^) do (Q, <)? Je identické zobrazení idq : Q —► Q izotonní zobrazení z (Q, <) do (Q, ^)? Odpovědi zdůvodněte. (Pozn: < je uspořádání racionálních čísel podle velikosti.)
8.   (10 bodů) Buď dána neprázdná množina A a uspořádání < na množině A. Na množině AA všech zobrazení z množiny A do sebe definujeme uspořádání -< takto: / -< g <í=^ (Va E ^4)(/(a) ^ 9Ía))j Pro fi9 £ AA. Dokažte, že pro libovolná zobrazení f,g,h E AA platí (/ < g =^- f oh ^ g°h). Nalezněte všechna zobrazení z E AA pro než platí (V/ E AA)(zo f = z). Dokažte, že pokud (A, <) je úplný svaz, pak (AA, ^) je také úplný svaz.