Základy matematiky -- podzim 2004 -- 2. termín -- 13.1.2005
1. (8krát  1 bod (správně 1 bod, chybně --1, bez odpovědi 0)) Odpovězte (škrtnutím nehodícího
se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi
pozorně!):
(a) ano -- ne Množina NN
všech zobrazení z množiny přirozených čísel do sebe je spočetná.
(b) ano -- ne Existuje právě jedno zobrazení z množiny IR do prázdné množiny.
(c) ano -- ne Binární relace R na množině A je symetrická právě tehdy, když R = RílR-1
.
(d) ano -- ne Pro libovolné uspořádané množiny (A, <), (B, <) a bijekci / : A --ˇ B platí:
/ je izotonní ==>- f~l
je izotonní.
(e) ano -- ne Každý prvek v uspořádané množině je buď minimální nebo maximální.
(f) ano -- ne Pro každou neprázdnou množinu A existuje uspořádání R takové, že (A, R)
je úplný svaz.
(g) ano -- ne Odčítání je binární operací na množině přirozených čísel N.
(h) ano -- ne Podokruh oboru integrity je obor integrity.
2. (7 bodů) Definujte pojem uspořádané množiny a úplného svazu. Definujte všechny užité
pojmy.
3. (5krát 2 body) Udejte příklad
(a) čtyřprvkové uspořádané množiny, jejíž všechny prvky jsou maximální;
(b) surjektivního zobrazení / : Z --ˇ N, které není injektivní;
(c) relace ekvivalence p na množině Z tak, aby rozklad Z/p měl 3 třídy rozkladu a každá
třída měla nekonečně mnoho prvků;
(d) binární operace na množině V(N), která není asociativní;
(e) uspořádání na množině komplexních čísel C
4. (10 bodů) Na množině všech podmnožin množiny přirozených čísel V(N) uvažujeme binární
operace symetrického rozdílu -ř a průniku n o nichž víme, že jsou asociativní. Rozhodněte,
zda (V(N), -ř, n) je okruh, či dokonce těleso. Odpověd zdůvodněte.
5. (10 bodů) Nechť konečná množina A má n prvků, kde ř i 6 Í ! , f ! > 3 . Určete kolik je uspořádání
< množiny A takových, že v množině (A, <) jsou právě dva prvky maximální, právě n -- 2
prvků je minimálních, přičemž každý prvek je buď maximální nebo minimální.
6. (10 bodů) Na množině komplexních čísel C je definována binární relace p vztahem xpy -<=>-
x3
= y3
, pro x, y E C. Dokažte, že p je relace ekvivalence na množině C Popište rozklad
C\p. Určete kolik má tento rozklad tříd a kolik prvků mají jednotlivé třídy.
7. (10 bodů) Nechť M = {X C N | X nekonečná }. Je (M, C) úplný svaz? Je (M U {0}, C)
úplný svaz? Pro libovolné X,Y E M popište in f {X, Y} v uspořádané množině (M U {0}, C).
Odpovědi zdůvodněte.
8. (10 bodů) Buď dána množina M = V (N) x V (N). Na množině M definujeme uspořádání ^
takto:
(X,Y) X (X',Y')<=> (XcX'V(X = X'AYCY')), pro X,Y, X',Y' E V (N).
Definujme dále zobrazení / : M --ˇ V (N) předpisem f ((X, Y)) = X n Y. Rozhodněte, zda
je zobrazení / surjektivní. Rozhodněte, zda je zobrazení / injektivní. Je toto zobrazení / :
(M, ^ ) --ˇ (V(N), C) izotonní? Rozhodněte, zda je (M, ^ ) úplný svaz.
Odpovědi zdůvodněte. (Pozn: Zápisem X C X' rozumíme I C I ' M ^ X'.)