Základy matematiky — podzim 2004 — 1. opravný termín — 20.1.2005
1.   (8krát ±1 bod (správně 1 bod, chybně —1, bez odpovědi 0)) Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a)   ano — ne    Množina V(N) všech podmnožin množiny přirozených čísel je spočetná.
(b)   ano — ne    Pro libovolné množiny A, B, C a zobrazení / : A —► B, g : B —► C platí: g ° f je surjektivní   =>-   f je surjektivní.
(c)   ano — ne   Pro libovolnou binární relaci R na množině A je relace R íl R~l symetrická.
(d)   ano — ne     Pokud v uspořádané množině (A, <) existuje minimální prvek, pak v ní existuje i prvek maximální.
(e)   ano — ne    Uspořádané množiny (N, <) a (Z, <) jsou izomorfní.
(f)   ano — ne    Je-li / : A —► B izotonní zobrazení uspořádaných množin (A,<) a (B,<), pak platí: (A,<) je úplný svaz    =>-   (B,<) je úplný svaz.
(g)   ano — ne    Grupa (E, +) je izomorfní s grupou (E+, •). (h) ano — ne    Každé těleso je obor integrity.
2.   (7 bodů) Definujte pojmy okruh, obor integrity a těleso. Definujte všechny užité pojmy.
3.   (5krát 2 body) Udejte příklad
(a)   relace ekvivalence p na množině N tak, aby rozklad N/p měl nekonečně mnoho tříd rozkladu;
(b)   bijektivního zobrazení / : (N, <) —► (N, <), které není izotonní (zde < je uspořádaní podle velikosti);
(c)   uspořádané množiny, která má jeden maximální prvek a nemá minimální prvek;
(d)   množiny A takové, aby počet všech binárních relací na množině A byl 24;
(e)   šestiprvkové grupy.
4.   (10 bodů) Na množině M = Z x Z definujeme binární operaci o vztahem (a, b) o (c, d) = (a + c, ac + b + d), pro a, b, c, d E Z. Rozhodněte, zda je operace o asociativní. Rozhodněte, zda je operace o komutativní. Je (M, o) grupa? Odpovědi zdůvodněte.
5.   (10 bodů) Nechť konečná množina A má n prvků, kde neN. Určete kolik je komutativních binárních operací na množině A. Výpočet komentujte.
6.   (10 bodů) Na množině E je definována binární relace p vztahem xpy -<=>- (x2 = y2\/x2y2 = 1), pro x, y G IR. Dokažte, že p je relace ekvivalence na množině IR. Popište rozklad M\p. Určete kolik má tento rozklad tříd a kolik prvků mají jednotlivé třídy.
7.   (10 bodů) Nechť k, n jsou přirozená čísla a A = {0,1, 2,..., n}. Označme P = {X C A \ 0 G X, \X\ < k} U {A}. Popište nejmenší a největší prvek uspořádané množiny (P, C). Je (P, C) úplný svaz? Pro libovolné X,Y G P popište sup{X, Y} v uspořádané množině (P, C). Nechť / : P —► N je zobrazení dané vztahem f(X) = \X\. Rozhodněte, zda je / : (P, C) —► (N, <) izotonní zobrazení. Odpovědi zdůvodněte. (Pozn: < je uspořádání přirozených čísel podle velikosti, \X\ je počet prvků konečné množiny X.)
8.   (10 bodů) Na množině / = {/ G NN | / : (N, <) —► (N, <) izotonní } všech izotonních zobrazení z množiny N do sebe definujeme uspořádání ^ takto: / ^ g <í=^ (Vn G N) (f (n) < g (n)), pro f, g E I. Rozhodněte, zda pro libovolná zobrazení f, g,h E I platí (/ ^ g =^-ho f ^ hog). Nalezněte všechna zobrazení z E I pro než platí (V/ E I)(f oz = z). Rohodněte, zda je (/, ^) úplný svaz. Odpovědi zdůvodněte. (Pozn: < je uspořádání přirozených čísel podle velikosti.)